Номер 4, страница 443, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Темы исследовательских работ к главе 10. ч. 1 - номер 4, страница 443.

4. Иррациональные уравнения и неравенства.

Иррациональные уравнения

Иррациональным называется уравнение, в котором переменная находится под знаком корня (радикала). Например, $\sqrt{x+5} = 3$ или $\sqrt[3]{x^2-1} = x$.

Основным методом решения иррациональных уравнений является возведение обеих частей уравнения в степень, равную степени корня. Для квадратного корня — в квадрат, для кубического — в куб, и так далее.

Важный момент: при возведении обеих частей уравнения в четную степень могут появиться посторонние корни. Это происходит потому, что из $A^2 = B^2$ не обязательно следует $A=B$ (может быть и $A=-B$). Поэтому после нахождения корней необходима их проверка либо нужно решать уравнение с помощью равносильных преобразований.

Рассмотрим два подхода к решению уравнения вида $\sqrt{f(x)} = g(x)$.

1. Метод проверки корней.

Сначала решаем уравнение, которое получается после возведения в квадрат, а затем подставляем найденные корни в исходное уравнение и отбрасываем те, которые не являются решением.

Пример: Решить уравнение $\sqrt{x+2} = x$.

Возведем обе части в квадрат: $x+2 = x^2$.

Получаем квадратное уравнение: $x^2 - x - 2 = 0$.

Его корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Теперь выполним проверку:

• Подставляем $x=2$: $\sqrt{2+2} = \sqrt{4} = 2$. Правая часть: $x=2$. Равенство $2=2$ верное. Значит, $x=2$ является корнем.
• Подставляем $x=-1$: $\sqrt{-1+2} = \sqrt{1} = 1$. Правая часть: $x=-1$. Равенство $1=-1$ неверное. Значит, $x=-1$ — посторонний корень.

Ответ: $x=2$.

2. Метод равносильных преобразований (систем).

Уравнение $\sqrt{f(x)} = g(x)$ равносильно системе:

$\sqrt{f(x)} = g(x) \iff \begin{cases} f(x) = [g(x)]^2 \\ g(x) \ge 0 \end{cases}$

Условие $f(x) \ge 0$ (область определения корня) здесь избыточно, так как оно автоматически выполняется из первого уравнения системы ($f(x)$ равно квадрату, который всегда неотрицателен).

Пример: Решить уравнение $\sqrt{x+2} = x$ этим методом.

Переходим к равносильной системе:

$\begin{cases} x+2 = x^2 \\ x \ge 0 \end{cases}$

Из первого уравнения, как и ранее, находим корни $x_1=2$ и $x_2=-1$.

Второе условие системы, $x \ge 0$, говорит нам, что подходит только корень $x=2$. Корень $x=-1$ не удовлетворяет этому условию.

Ответ: $x=2$.

Иррациональные неравенства

Иррациональное неравенство — это неравенство, где переменная стоит под знаком корня. При их решении также используется возведение в степень, но здесь нужно быть еще более внимательным, так как возводить в квадрат можно только неотрицательные части неравенства.

Рассмотрим основные типы иррациональных неравенств.

1. Неравенство вида $\sqrt{f(x)} < g(x)$

Чтобы левая часть была меньше правой, необходимо, чтобы, во-первых, корень существовал ($f(x) \ge 0$), во-вторых, правая часть была больше корня, а значит, положительной ($g(x) > 0$). Только после выполнения этих условий можно возводить обе части в квадрат. Это приводит к равносильной системе:

$\sqrt{f(x)} < g(x) \iff \begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) > 0 \\ f(x) < [g(x)]^2 \end{cases}$

Пример: Решить неравенство $\sqrt{2x+1} < 3$.

Здесь $g(x) = 3$, что всегда больше нуля. Система упрощается:

$\begin{cases} 2x+1 \ge 0 \\ 2x+1 < 3^2 \end{cases} \implies \begin{cases} 2x \ge -1 \\ 2x < 8 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -0.5 \\ x < 4 \end{cases}$

Пересечение этих условий дает интервал $[-0.5, 4)$.

Ответ: $x \in [-0.5, 4)$.

2. Неравенство вида $\sqrt{f(x)} > g(x)$

Здесь нужно рассматривать два случая, которые объединяются в совокупность.

Случай 1: Правая часть $g(x)$ отрицательна. Если корень существует ($f(x) \ge 0$), то неравенство выполняется автоматически, так как неотрицательное число всегда больше отрицательного.

$\begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) < 0 \end{cases}$

Случай 2: Правая часть $g(x)$ неотрицательна. В этом случае обе части неравенства неотрицательны, и мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства.

$\begin{cases} g(x) \ge 0 \\ f(x) > [g(x)]^2 \end{cases}$

Решение исходного неравенства является объединением решений этих двух систем:

$\sqrt{f(x)} > g(x) \iff \left[ \begin{array}{l} \begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) < 0 \end{cases} \\ \begin{cases} g(x) \ge 0 \\ f(x) > [g(x)]^2 \end{cases} \end{array} \right.$

Пример: Решить неравенство $\sqrt{x^2 - 3x - 10} > x - 5$.

Составляем совокупность двух систем:

$\left[ \begin{array}{l} \begin{cases} x^2 - 3x - 10 \ge 0 \\ x - 5 < 0 \end{cases} \quad (I) \\ \begin{cases} x - 5 \ge 0 \\ x^2 - 3x - 10 > (x - 5)^2 \end{cases} \quad (II) \end{array} \right.$

Решаем систему (I):

$x^2 - 3x - 10 \ge 0 \implies (x-5)(x+2) \ge 0 \implies x \in (-\infty, -2] \cup [5, \infty)$.

$x-5 < 0 \implies x < 5$.

Пересечение этих решений: $x \in (-\infty, -2]$.

Решаем систему (II):

$x - 5 \ge 0 \implies x \ge 5$.

$x^2 - 3x - 10 > x^2 - 10x + 25 \implies 7x > 35 \implies x > 5$.

Пересечение этих решений: $x \in (5, \infty)$.

Объединяем решения систем (I) и (II): $(-\infty, -2] \cup (5, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -2] \cup (5, \infty)$.