Номер 3, страница 436, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §59. ч. 1 - номер 3, страница 436.

3. Какие вы знаете методы решения системы двух уравнений с двумя переменными?

Для решения системы двух уравнений с двумя переменными существует несколько основных методов. Наиболее распространенными являются графический метод, метод подстановки и метод сложения.

Графический метод

Суть этого метода заключается в построении графиков каждого из уравнений системы в одной координатной плоскости. Каждое линейное уравнение с двумя переменными представляет собой прямую линию на графике. Координаты точки (или точек) пересечения этих графиков и являются решением системы уравнений. Если прямые пересекаются в одной точке, система имеет единственное решение. Если прямые параллельны и не совпадают, система не имеет решений. Если прямые совпадают, система имеет бесконечное множество решений.

Пример:

Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} y - x = 1 \\ y + 2x = 4 \end{cases} $

Сначала преобразуем уравнения к виду функции $y(x)$, чтобы удобнее было строить графики: $y = x + 1$ и $y = -2x + 4$. Построим график первого уравнения $y = x + 1$. Это прямая, проходящая через точки $(0, 1)$ и $(1, 2)$. Затем построим график второго уравнения $y = -2x + 4$. Это прямая, проходящая через точки $(0, 4)$ и $(2, 0)$. На чертеже видно, что прямые пересекаются в точке с координатами $(1, 2)$. Для проверки подставим значения $x=1$ и $y=2$ в исходную систему:

$ \begin{cases} 2 - 1 = 1 \quad (\text{верно}) \\ 2 + 2 \cdot 1 = 4 \quad (\text{верно}) \end{cases} $

Координаты точки пересечения $(1, 2)$ удовлетворяют обоим уравнениям, следовательно, это решение системы.

Ответ: $(1, 2)$

Метод подстановки

Это аналитический метод. Сначала из одного из уравнений системы выражают одну переменную через другую. Далее, полученное выражение подставляют во второе уравнение системы вместо этой переменной, что приводит к уравнению с одной неизвестной. Решив это уравнение, находят значение первой переменной. В завершение, это значение подставляют в выражение, полученное на первом шаге, и вычисляют значение второй переменной.

Пример:

Решим ту же систему:

$ \begin{cases} y - x = 1 \\ y + 2x = 4 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим переменную $y$ через $x$, получим $y = x + 1$. Подставим это выражение во второе уравнение вместо $y$: $(x + 1) + 2x = 4$. Решим полученное уравнение относительно $x$: $3x + 1 = 4$, откуда $3x = 3$ и $x = 1$. Теперь подставим найденное значение $x=1$ в выражение для $y$: $y = 1 + 1 = 2$.

Ответ: $(1, 2)$

Метод алгебраического сложения

Суть метода заключается в исключении одной из переменных. Для этого уравнения системы преобразуют так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами. Это достигается умножением обоих частей одного или обоих уравнений на подходящие множители. Затем уравнения почленно складывают, получая одно линейное уравнение с одной переменной. Его решают, а найденное значение подставляют в любое из исходных уравнений, чтобы найти значение второй переменной.

Пример:

Решим систему:

$ \begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ 3x - 2y = 4 \end{cases} $

Умножим первое уравнение на 2, а второе на 3, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными ($6y$ и $-6y$):

$ \begin{cases} 2(2x + 3y) = 2 \cdot 7 \\ 3(3x - 2y) = 3 \cdot 4 \end{cases} \implies \begin{cases} 4x + 6y = 14 \\ 9x - 6y = 12 \end{cases} $

Сложим два новых уравнения почленно: $(4x + 6y) + (9x - 6y) = 14 + 12$, что дает $13x = 26$. Отсюда $x = 2$. Подставим значение $x=2$ в первое исходное уравнение: $2(2) + 3y = 7$, то есть $4 + 3y = 7$. Решая, получаем $3y = 3$ и $y = 1$.

Ответ: $(2, 1)$

Существуют и другие, более продвинутые методы, например, метод Крамера (с использованием определителей) или матричный метод, которые обычно изучаются в курсе высшей алгебры.