Страница 436, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Что называют системой двух уравнений с двумя переменными? Что называют решением такой системы?

Что называют системой двух уравнений с двумя переменными?

Системой двух уравнений с двумя переменными называют два уравнения, которые должны выполняться одновременно. Это означает, что мы ищем такие значения для двух переменных (например, $x$ и $y$), которые при подстановке в каждое из уравнений превратят его в верное равенство.

Обычно систему записывают, объединяя уравнения фигурной скобкой:

Здесь $F_1(x, y) = 0$ и $F_2(x, y) = 0$ — это два уравнения с переменными $x$ и $y$. Фигурная скобка как раз и указывает на то, что нужно найти их общие решения.

Ответ: Системой двух уравнений с двумя переменными называют два уравнения, для которых необходимо найти общие решения — пары значений переменных, удовлетворяющие обоим уравнениям одновременно.

Что называют решением такой системы?

Решением системы двух уравнений с двумя переменными $x$ и $y$ называют упорядоченную пару чисел $(x_0, y_0)$, при подстановке которой в каждое уравнение системы получаются верные числовые равенства.

Например, рассмотрим систему:

Пара чисел $(3, 2)$ является решением этой системы, так как при подстановке $x = 3$ и $y = 2$ оба уравнения обращаются в верные равенства:

Решить систему уравнений — это значит найти все её решения или доказать, что решений нет.

Ответ: Решением системы двух уравнений с двумя переменными называется упорядоченная пара чисел, которая при подстановке в каждое из уравнений системы обращает его в верное числовое равенство.

2. Какие две системы двух уравнений с двумя переменными называют равносильными?

Две системы двух уравнений с двумя переменными называют равносильными (или эквивалентными), если множества их решений полностью совпадают. Это означает, что любая пара чисел $(x, y)$, которая является решением первой системы, должна быть решением и второй системы, и наоборот, любое решение второй системы должно являться решением первой.

Также равносильными считаются две системы, если обе они не имеют решений. В этом случае их множества решений одинаковы — они оба являются пустыми множествами.

Например, рассмотрим две системы уравнений.

Система 1: $$ \begin{cases} x + y = 7 \\ x - y = 3 \end{cases} $$ Чтобы решить эту систему, можно сложить два уравнения: $(x + y) + (x - y) = 7 + 3$, что дает $2x = 10$, откуда $x=5$. Подставив значение $x$ в первое уравнение, получаем $5 + y = 7$, откуда $y=2$. Таким образом, решением первой системы является единственная пара чисел $(5, 2)$.

Система 2: $$ \begin{cases} 2x = 10 \\ x + y = 7 \end{cases} $$ Из первого уравнения этой системы получаем $x = \frac{10}{2} = 5$. Подставив это значение во второе уравнение, получаем $5 + y = 7$, откуда $y = 2$. Решением второй системы также является пара чисел $(5, 2)$.

Так как множества решений обеих систем состоят из одной и той же пары чисел $(5, 2)$, эти две системы являются равносильными.

Ответ: Две системы двух уравнений с двумя переменными называют равносильными, если они имеют одно и то же множество решений. В частности, две системы, не имеющие решений, также считаются равносильными.

3. Какие вы знаете методы решения системы двух уравнений с двумя переменными?

Для решения системы двух уравнений с двумя переменными существует несколько основных методов. Наиболее распространенными являются графический метод, метод подстановки и метод сложения.

Графический метод

Суть этого метода заключается в построении графиков каждого из уравнений системы в одной координатной плоскости. Каждое линейное уравнение с двумя переменными представляет собой прямую линию на графике. Координаты точки (или точек) пересечения этих графиков и являются решением системы уравнений. Если прямые пересекаются в одной точке, система имеет единственное решение. Если прямые параллельны и не совпадают, система не имеет решений. Если прямые совпадают, система имеет бесконечное множество решений.

Пример:

Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} y - x = 1 \\ y + 2x = 4 \end{cases} $

Сначала преобразуем уравнения к виду функции $y(x)$, чтобы удобнее было строить графики: $y = x + 1$ и $y = -2x + 4$. Построим график первого уравнения $y = x + 1$. Это прямая, проходящая через точки $(0, 1)$ и $(1, 2)$. Затем построим график второго уравнения $y = -2x + 4$. Это прямая, проходящая через точки $(0, 4)$ и $(2, 0)$. На чертеже видно, что прямые пересекаются в точке с координатами $(1, 2)$. Для проверки подставим значения $x=1$ и $y=2$ в исходную систему:

$ \begin{cases} 2 - 1 = 1 \quad (\text{верно}) \\ 2 + 2 \cdot 1 = 4 \quad (\text{верно}) \end{cases} $

Координаты точки пересечения $(1, 2)$ удовлетворяют обоим уравнениям, следовательно, это решение системы.

Ответ: $(1, 2)$

Метод подстановки

Это аналитический метод. Сначала из одного из уравнений системы выражают одну переменную через другую. Далее, полученное выражение подставляют во второе уравнение системы вместо этой переменной, что приводит к уравнению с одной неизвестной. Решив это уравнение, находят значение первой переменной. В завершение, это значение подставляют в выражение, полученное на первом шаге, и вычисляют значение второй переменной.

Пример:

Решим ту же систему:

$ \begin{cases} y - x = 1 \\ y + 2x = 4 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим переменную $y$ через $x$, получим $y = x + 1$. Подставим это выражение во второе уравнение вместо $y$: $(x + 1) + 2x = 4$. Решим полученное уравнение относительно $x$: $3x + 1 = 4$, откуда $3x = 3$ и $x = 1$. Теперь подставим найденное значение $x=1$ в выражение для $y$: $y = 1 + 1 = 2$.

Ответ: $(1, 2)$

Метод алгебраического сложения

Суть метода заключается в исключении одной из переменных. Для этого уравнения системы преобразуют так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами. Это достигается умножением обоих частей одного или обоих уравнений на подходящие множители. Затем уравнения почленно складывают, получая одно линейное уравнение с одной переменной. Его решают, а найденное значение подставляют в любое из исходных уравнений, чтобы найти значение второй переменной.

Пример:

Решим систему:

$ \begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ 3x - 2y = 4 \end{cases} $

Умножим первое уравнение на 2, а второе на 3, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными ($6y$ и $-6y$):

$ \begin{cases} 2(2x + 3y) = 2 \cdot 7 \\ 3(3x - 2y) = 3 \cdot 4 \end{cases} \implies \begin{cases} 4x + 6y = 14 \\ 9x - 6y = 12 \end{cases} $

Сложим два новых уравнения почленно: $(4x + 6y) + (9x - 6y) = 14 + 12$, что дает $13x = 26$. Отсюда $x = 2$. Подставим значение $x=2$ в первое исходное уравнение: $2(2) + 3y = 7$, то есть $4 + 3y = 7$. Решая, получаем $3y = 3$ и $y = 1$.

Ответ: $(2, 1)$

Существуют и другие, более продвинутые методы, например, метод Крамера (с использованием определителей) или матричный метод, которые обычно изучаются в курсе высшей алгебры.

4. В чем суть метода подстановки при решении системы двух уравнений с двумя переменными?

Суть метода подстановки при решении системы двух уравнений с двумя переменными, например $x$ и $y$, заключается в том, чтобы свести исходную систему к одному уравнению, содержащему только одну переменную. Это позволяет последовательно найти значения обеих переменных. Процесс можно описать в виде алгоритма.

Алгоритм метода подстановки:

1. Из одного из уравнений системы выражают одну переменную через другую. Стараются выбрать то уравнение, где это сделать проще всего (например, где коэффициент при одной из переменных равен $1$ или $-1$).

2. Полученное выражение подставляют в другое уравнение системы вместо той переменной, которую выразили. В результате получается уравнение с одной переменной.

3. Решают полученное уравнение и находят значение этой переменной.

4. Подставляют найденное значение переменной в выражение, полученное на первом шаге, и находят значение второй переменной.

5. Записывают ответ в виде пары чисел, являющихся решением системы.

Пример:

Рассмотрим систему уравнений:

$$ \begin{cases} 2x + y = 7 \\ 4x - 3y = 1 \end{cases} $$

1. Выразим одну переменную через другую.В первом уравнении $2x + y = 7$ легко выразить переменную $y$, так как её коэффициент равен 1:$y = 7 - 2x$

2. Подставим полученное выражение в другое уравнение.Подставим выражение $7 - 2x$ вместо $y$ во второе уравнение системы $4x - 3y = 1$:$4x - 3(7 - 2x) = 1$

3. Решим полученное уравнение.Мы получили уравнение с одной переменной $x$. Решим его:$4x - 21 + 6x = 1$$10x = 1 + 21$$10x = 22$$x = 2.2$

4. Найдем значение второй переменной.Теперь подставим найденное значение $x = 2.2$ в выражение для $y$, полученное на первом шаге:$y = 7 - 2x = 7 - 2 \cdot 2.2 = 7 - 4.4 = 2.6$

5. Запишем ответ.Решением системы является пара чисел $(2.2; 2.6)$.

Таким образом, суть метода заключается в последовательном исключении переменных: сначала одну переменную выражают через другую, а затем, подставив это выражение в другое уравнение, сводят задачу к решению более простого уравнения с одной неизвестной.

Ответ: Суть метода подстановки состоит в том, чтобы из одного уравнения системы выразить одну переменную через другую и подставить полученное выражение во второе уравнение. Это позволяет получить уравнение с одной переменной, решить его, а затем, используя найденное значение, вычислить значение второй переменной.

5. В чем суть метода алгебраического сложения при решении системы двух уравнений с двумя переменными?

Суть метода алгебраического сложения при решении системы двух уравнений с двумя переменными заключается в том, чтобы путем преобразования уравнений и их последующего сложения или вычитания исключить (элиминировать) одну из переменных. Это позволяет свести систему двух уравнений с двумя переменными к одному уравнению с одной переменной, которое решается значительно проще. После нахождения одной переменной, ее значение подставляют в любое из исходных уравнений для нахождения второй.

Для этого используется следующий алгоритм:

1. Уравнять модули коэффициентов при одной из переменных. Для этого обе части одного или обоих уравнений умножают на подходящие множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами (например, $5y$ и $-5y$).

2. Сложить почленно левые и правые части уравнений системы. В результате этого действия одна из переменных взаимно уничтожится.

3. Решить получившееся линейное уравнение с одной переменной.

4. Подставить найденное на третьем шаге значение переменной в любое из двух уравнений исходной системы.

5. Решить полученное уравнение и найти соответствующее значение второй переменной.

6. Записать ответ в виде пары значений $(x; y)$.

Пример:

Рассмотрим систему уравнений:

$$ \begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ 4x - 5y = 3 \end{cases} $$

Чтобы исключить переменную $x$, необходимо сделать коэффициенты при ней в обоих уравнениях противоположными числами. Умножим первое уравнение на $-2$. Тогда коэффициенты при $x$ станут $-4$ и $4$.

$$ \begin{cases} -2(2x + 3y) = -2 \cdot 7 \\ 4x - 5y = 3 \end{cases} \implies \begin{cases} -4x - 6y = -14 \\ 4x - 5y = 3 \end{cases} $$

Теперь сложим почленно левые и правые части уравнений:

$$ (-4x - 6y) + (4x - 5y) = -14 + 3 $$

$$ -4x + 4x - 6y - 5y = -11 $$

$$ -11y = -11 $$

Отсюда находим $y$:

$$ y = 1 $$

Подставим найденное значение $y=1$ в первое исходное уравнение системы, чтобы найти $x$:

$$ 2x + 3(1) = 7 $$

$$ 2x + 3 = 7 $$

$$ 2x = 4 $$

$$ x = 2 $$

Решением системы является пара чисел $(2; 1)$.

Ответ: Суть метода алгебраического сложения состоит в преобразовании уравнений системы с целью получить противоположные коэффициенты при одной из переменных, чтобы при последующем почленном сложении уравнений эта переменная исключилась. Это позволяет свести исходную систему к одному более простому уравнению с одной переменной.

6. В чем суть метода введения новых переменных при решении системы двух уравнений с двумя переменными?

Суть метода введения новых переменных заключается в замене некоторых повторяющихся или сложных выражений, содержащих исходные переменные (например, $x$ и $y$), новыми, более простыми переменными (например, $a$ и $b$). Эта замена позволяет преобразовать исходную, часто громоздкую, систему уравнений в более простую систему относительно новых переменных. Решив эту новую, упрощенную систему, мы затем возвращаемся к исходным переменным, чтобы найти окончательное решение.

Цель метода — свести сложную задачу к последовательности более простых задач.

Алгоритм решения системы уравнений методом введения новых переменных:

1. Анализ системы. Внимательно изучить оба уравнения системы и найти в них одинаковые или структурно похожие выражения. Это могут быть суммы ($x+y$), произведения ($xy$), частные ($\frac{x}{y}$), степени ($x^2+y^2$) и другие комбинации исходных переменных.

2. Введение новых переменных. Обозначить найденные выражения новыми переменными. Например, пусть $a = f(x, y)$ и $b = g(x, y)$.

3. Составление новой системы. Записать исходную систему уравнений, используя новые переменные. Полученная система, как правило, оказывается значительно проще (например, линейной или простой квадратной).

4. Решение новой системы. Решить полученную систему относительно новых переменных ($a$ и $b$) любым известным способом (метод подстановки, метод сложения и т.д.).

5. Обратная замена. Подставить найденные значения новых переменных ($a$ и $b$) обратно в равенства, которые их определяли. В результате получится одна или несколько более простых систем уравнений относительно исходных переменных $x$ и $y$.

6. Решение итоговых систем. Решить полученные системы и найти значения исходных переменных $x$ и $y$.

7. Запись ответа. Записать все найденные пары $(x, y)$ в качестве решения исходной системы.

Пример:

Рассмотрим систему уравнений:

$$ \begin{cases} x+y+xy = 11 \\ (x+y)xy = 30 \end{cases} $$

1. Анализ и введение новых переменных.

Заметим, что в обоих уравнениях присутствуют выражения $x+y$ и $xy$. Введем новые переменные:

Пусть $a = x+y$ и $b = xy$.

2. Составление и решение новой системы.

Перепишем исходную систему с новыми переменными:

$$ \begin{cases} a + b = 11 \\ ab = 30 \end{cases} $$

Эта система легко решается. По теореме, обратной теореме Виета, $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 11t + 30 = 0$.

Корни этого уравнения: $t_1 = 5$, $t_2 = 6$.

Следовательно, мы имеем два возможных случая для пар $(a, b):$

• Случай 1: $a = 5$, $b = 6$

• Случай 2: $a = 6$, $b = 5$

3. Обратная замена и решение итоговых систем.

Теперь для каждого случая вернемся к исходным переменным $x$ и $y$.

Случай 1: $a = 5$, $b = 6$.

Получаем систему:

$$ \begin{cases} x+y = 5 \\ xy = 6 \end{cases} $$

Снова по теореме, обратной теореме Виета, $x$ и $y$ — это корни уравнения $z^2 - 5z + 6 = 0$.

Корни: $z_1 = 2$, $z_2 = 3$.

Это дает нам две пары решений: $(2, 3)$ и $(3, 2)$.

Случай 2: $a = 6$, $b = 5$.

Получаем систему:

$$ \begin{cases} x+y = 6 \\ xy = 5 \end{cases} $$

$x$ и $y$ — это корни уравнения $z^2 - 6z + 5 = 0$.

Корни: $z_1 = 1$, $z_2 = 5$.

Это дает нам еще две пары решений: $(1, 5)$ и $(5, 1)$.

Ответ: Суть метода введения новых переменных при решении систем уравнений заключается в упрощении исходной системы путем замены сложных или повторяющихся выражений на новые, более простые переменные. Это позволяет свести задачу к решению более простой системы, после чего выполняется обратная замена для нахождения исходных неизвестных. В приведенном примере решениями являются пары чисел: $(2, 3), (3, 2), (1, 5), (5, 1)$.