Страница 429, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Что называют решением уравнения с двумя переменными?

Решением уравнения с двумя переменными, например $x$ и $y$, называется упорядоченная пара значений этих переменных, при подстановке которых в уравнение получается верное числовое равенство.

Ключевым моментом здесь является то, что пара значений упорядоченная. Это означает, что важен порядок, в котором записаны числа. Обычно решение записывают в виде координат точки $(x_0; y_0)$, где на первом месте стоит значение переменной $x$, а на втором — значение переменной $y$.

Пример:

Рассмотрим линейное уравнение с двумя переменными: $3x - y = 5$.

• Проверим, является ли пара чисел $(2; 1)$ решением. Для этого подставим $x=2$ и $y=1$ в уравнение:
  $3 \cdot 2 - 1 = 6 - 1 = 5$.
  Получилось верное равенство $5 = 5$. Следовательно, пара $(2; 1)$ является решением данного уравнения.
• Теперь проверим пару чисел $(1; 2)$. Подставим $x=1$ и $y=2$:
  $3 \cdot 1 - 2 = 3 - 2 = 1$.
  Получилось неверное равенство $1 = 5$. Следовательно, пара $(1; 2)$ не является решением этого уравнения.

Как правило, уравнение с двумя переменными имеет бесконечное множество решений. Множество всех таких пар $(x; y)$ образует на координатной плоскости график данного уравнения.

Ответ: Решением уравнения с двумя переменными называют упорядоченную пару значений переменных, которая обращает это уравнение в верное числовое равенство.

2. Расскажите, как в прямоугольной системе координат $xOy$ вы найдёте решение неравенства:

а) $y > 2x - 3$;

б) $y \leq 2x - 3$;

в) $y \geq x^2$;

г) $y < \sqrt{x}$;

д) $2x + 3y > 6$;

е) $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 \leq 4$.

Чтобы найти решение неравенства в прямоугольной системе координат $xOy$, нужно выполнить следующие шаги:
1. Заменить знак неравенства на знак равенства и построить график получившегося уравнения. Этот график (линия, кривая) является границей искомой области.
2. Если неравенство строгое (знаки $>$ или $<$), то граница рисуется пунктирной линией. Это означает, что точки на самой границе не входят в решение.
3. Если неравенство нестрогое (знаки $\ge$ или $\le$), то граница рисуется сплошной линией. Точки на границе входят в решение.
4. Граница делит всю координатную плоскость на две или более области. Чтобы определить, какая из областей является решением, нужно взять произвольную "пробную" точку, не лежащую на границе (часто удобно использовать начало координат $(0, 0)$, если оно не лежит на границе).
5. Подставить координаты пробной точки в исходное неравенство. Если получается верное числовое неравенство, то решением является та область, в которой лежит пробная точка. Если неверное — то решением является другая область.

а) $y > 2x - 3$

1. Строим граничную прямую $y = 2x - 3$. Это линейная функция, ее график — прямая. Для построения найдем две точки, например, точки пересечения с осями координат.
Если $x=0$, то $y = 2(0) - 3 = -3$. Точка $(0, -3)$.
Если $y=0$, то $0 = 2x - 3 \implies 2x = 3 \implies x = 1.5$. Точка $(1.5, 0)$.
2. Так как неравенство строгое ($>$), прямую рисуем пунктирной линией.
3. Возьмем пробную точку, не лежащую на прямой, например, начало координат $(0, 0)$.
4. Подставляем ее координаты в исходное неравенство: $0 > 2(0) - 3$, что дает $0 > -3$. Это верное неравенство.
5. Следовательно, решением является полуплоскость, содержащая начало координат, то есть область, расположенная выше пунктирной прямой $y = 2x - 3$.
Ответ: Решением является открытая полуплоскость, расположенная выше прямой $y = 2x - 3$.

б) $y \le 2x - 3$

1. Граничная прямая та же, что и в пункте а): $y = 2x - 3$.
2. Неравенство нестрогое ($\le$), поэтому прямую рисуем сплошной линией. Точки на прямой являются частью решения.
3. Используем ту же пробную точку $(0, 0)$.
4. Подставляем в неравенство: $0 \le 2(0) - 3$, что дает $0 \le -3$. Это неверное неравенство.
5. Значит, решением является полуплоскость, не содержащая начало координат, то есть область, расположенная ниже прямой $y = 2x - 3$, включая саму прямую.
Ответ: Решением является замкнутая полуплоскость, расположенная ниже прямой $y = 2x - 3$ и включающая эту прямую.

в) $y \ge x^2$

1. Строим граничную кривую $y = x^2$. Это парабола с вершиной в начале координат и ветвями, направленными вверх.
2. Неравенство нестрогое ($\ge$), поэтому параболу рисуем сплошной линией.
3. Начало координат $(0, 0)$ лежит на границе, поэтому его нельзя использовать как пробную точку. Возьмем другую точку, например, $(0, 1)$.
4. Подставляем ее координаты в неравенство: $1 \ge 0^2$, что дает $1 \ge 0$. Это верное неравенство.
5. Точка $(0, 1)$ находится внутри параболы. Следовательно, решением является область внутри параболы, включая саму параболу.
Ответ: Решением является множество точек, лежащих на параболе $y=x^2$ и внутри нее.

г) $y < \sqrt{x}$

1. Область определения функции $y = \sqrt{x}$ — это $x \ge 0$. Решение будет находиться в правой полуплоскости (включая ось $Oy$).
2. Строим граничную кривую $y = \sqrt{x}$. Это верхняя ветвь параболы $x = y^2$, выходящая из начала координат.
3. Неравенство строгое (<), поэтому кривую рисуем пунктирной линией.
4. Возьмем пробную точку из области определения, не лежащую на кривой, например, $(1, 0)$.
5. Подставляем в неравенство: $0 < \sqrt{1}$, что дает $0 < 1$. Это верное неравенство.
6. Точка $(1, 0)$ находится под кривой $y = \sqrt{x}$. Таким образом, решением является область под этой кривой при $x \ge 0$.
Ответ: Решением является область, расположенная в правой полуплоскости ($x \ge 0$) ниже кривой $y = \sqrt{x}$. Граница $y = \sqrt{x}$ не включается в решение.

д) $2x + 3y > 6$

1. Строим граничную прямую $2x + 3y = 6$. Для удобства можно выразить $y$: $3y = -2x + 6 \implies y = -\frac{2}{3}x + 2$.
Найдем точки пересечения с осями: если $x=0$, то $y=2$ (точка $(0, 2)$); если $y=0$, то $x=3$ (точка $(3, 0)$).
2. Неравенство строгое ($>$), поэтому прямую рисуем пунктирной линией.
3. Возьмем пробную точку $(0, 0)$.
4. Подставляем в исходное неравенство: $2(0) + 3(0) > 6$, что дает $0 > 6$. Это неверное неравенство.
5. Следовательно, решением является полуплоскость, не содержащая начало координат, то есть область выше пунктирной прямой.
Ответ: Решением является открытая полуплоскость, расположенная выше прямой $y = -\frac{2}{3}x + 2$.

е) $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 \le 4$

1. Строим граничную кривую $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4$. Это уравнение окружности с центром в точке $(1, 2)$ и радиусом $r = \sqrt{4} = 2$.
2. Неравенство нестрогое ($\le$), поэтому окружность рисуем сплошной линией.
3. В качестве пробной точки удобно взять центр окружности $(1, 2)$.
4. Подставляем координаты центра в неравенство: $(1 - 1)^2 + (2 - 2)^2 \le 4$, что дает $0^2 + 0^2 \le 4$ или $0 \le 4$. Это верное неравенство.
5. Значит, решением являются все точки, лежащие внутри окружности, а также на самой окружности.
Ответ: Решением является круг с центром в точке $(1, 2)$ и радиусом $2$, включая его границу (окружность).

3. Расскажите, как в прямоугольной системе координат $xOy$ вы найдёте решение системы неравенств:

a) $ \begin{cases} x - 2y > 0, \\ 2x + y < 0; \end{cases} $

б) $ 0 < y - x^2 < 4. $

a) Чтобы найти решение системы неравенств $\begin{cases} x - 2y > 0 \\ 2x + y < 0 \end{cases}$ в прямоугольной системе координат, необходимо найти пересечение множеств решений каждого из неравенств на координатной плоскости $xOy$.

1. Сначала рассмотрим первое неравенство $x - 2y > 0$. Для этого построим граничную прямую, которая задается уравнением $x - 2y = 0$. Выразим $y$ через $x$: $y = \frac{1}{2}x$. Это уравнение прямой, проходящей через начало координат $(0, 0)$ и точку, например, $(2, 1)$. Поскольку неравенство строгое ($>$), то точки, лежащие на самой прямой, не являются решениями. Поэтому прямую следует изобразить пунктирной линией.

Эта прямая делит всю плоскость на две полуплоскости. Чтобы определить, какая из них является решением, выберем любую пробную точку, не лежащую на прямой. Удобно взять точку $(1, 0)$. Подставим ее координаты в неравенство: $1 - 2 \cdot 0 > 0$, что дает верное утверждение $1 > 0$. Это означает, что решением первого неравенства является полуплоскость, которая содержит точку $(1, 0)$, то есть все точки, лежащие ниже прямой $y = \frac{1}{2}x$.

2. Теперь рассмотрим второе неравенство $2x + y < 0$. Его граничная прямая задается уравнением $2x + y = 0$, или $y = -2x$. Эта прямая также проходит через начало координат $(0, 0)$ и, например, точку $(1, -2)$. Неравенство строгое (<), поэтому прямую также изображаем пунктиром.

Снова выберем пробную точку, например, $(1, 0)$. Подставив ее координаты во второе неравенство, получим: $2 \cdot 1 + 0 < 0$, что дает неверное утверждение $2 < 0$. Следовательно, решением второго неравенства является полуплоскость, не содержащая точку $(1, 0)$, то есть все точки, расположенные ниже прямой $y = -2x$.

3. Решением системы является пересечение найденных областей, то есть множество точек, которые удовлетворяют обоим неравенствам одновременно. Геометрически это область, которая находится одновременно ниже прямой $y = \frac{1}{2}x$ и ниже прямой $y = -2x$. Это открытый угол с вершиной в начале координат, ограниченный лучами, соответствующими данным прямым, и расположенный в четвертой координатной четверти.

Ответ: Решением системы является открытая угловая область, ограниченная пунктирными прямыми $y = \frac{1}{2}x$ и $y = -2x$, которая представляет собой пересечение полуплоскостей, лежащих под этими прямыми.

б) Двойное неравенство $0 < y - x^2 < 4$ эквивалентно системе из двух неравенств: $$ \begin{cases} y - x^2 > 0 \\ y - x^2 < 4 \end{cases} $$ Перепишем систему в более удобном виде: $$ \begin{cases} y > x^2 \\ y < x^2 + 4 \end{cases} $$ Решение этой системы — это пересечение областей, заданных каждым из неравенств.

1. Рассмотрим первое неравенство $y > x^2$. Границей этой области является кривая, заданная уравнением $y = x^2$. Это стандартная парабола с вершиной в начале координат $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх. Так как неравенство строгое ($>$), параболу следует изобразить пунктирной линией.

Неравенство $y > x^2$ описывает все точки координатной плоскости, которые лежат *выше* параболы $y = x^2$. Чтобы убедиться в этом, можно взять пробную точку, например, $(0, 2)$, которая находится внутри параболы. Подстановка ее координат дает $2 > 0^2$, что является верным утверждением.

2. Рассмотрим второе неравенство $y < x^2 + 4$. Границей этой области является кривая $y = x^2 + 4$. Эта парабола получается из параболы $y = x^2$ сдвигом на 4 единицы вверх вдоль оси $Oy$. Ее вершина находится в точке $(0, 4)$, а ветви также направлены вверх. Неравенство строгое (<), поэтому эту параболу также изображаем пунктирной линией.

Неравенство $y < x^2 + 4$ описывает все точки, которые лежат *ниже* параболы $y = x^2 + 4$. Проверим это с помощью пробной точки $(0, 2)$: $2 < 0^2 + 4$, что является верным утверждением.

3. Решением исходного двойного неравенства является пересечение двух найденных областей. Это множество точек, которые одновременно находятся выше параболы $y = x^2$ и ниже параболы $y = x^2 + 4$.

Ответ: Решением является область на координатной плоскости, заключенная между параболами $y = x^2$ и $y = x^2 + 4$. Границы области (сами параболы) в решение не входят, поэтому они изображаются пунктирными линиями.