Страница 423, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Даны два неравенства: $f(x) > g(x)$ и $p(x) < h(x)$, В каком случае их называют равносильными?

1.

Два неравенства, в данном случае $f(x) > g(x)$ и $p(x) < h(x)$, называют равносильными (или эквивалентными), если множества их решений полностью совпадают.

Это означает, что любое значение переменной $x$, которое является решением первого неравенства, является также и решением второго, и наоборот — любое решение второго является решением первого. Таким образом, у равносильных неравенств одно и то же множество решений.

Если обозначить множество решений неравенства $f(x) > g(x)$ как $M_1$, а множество решений неравенства $p(x) < h(x)$ как $M_2$, то равносильность этих неравенств означает, что $M_1 = M_2$.

Этот принцип распространяется и на случай, когда у неравенств нет решений. Если оба неравенства не имеют решений, то множество решений каждого из них является пустым множеством ($\emptyset$). Поскольку $\emptyset = \emptyset$, такие неравенства тоже считаются равносильными.

Например, неравенства $x+3 > 5$ и $2x > 4$ равносильны. Решением первого является $x > 2$, то есть множество $(2; +\infty)$. Решением второго также является $x > 2$. Так как множества их решений совпадают, они равносильны.

Ответ: Два неравенства называют равносильными, если множества их решений совпадают.

2. Известно, что оба неравенства $f(x) > g(x)$ и $p(x) < h(x)$ не имеют решений. Можно ли назвать их равносильными?

Да, эти неравенства можно назвать равносильными. Чтобы понять почему, обратимся к определению равносильности.

Два неравенства (или уравнения) называются равносильными, если множества их решений полностью совпадают.

В условии задачи даны два неравенства:

1. $f(x) > g(x)$
2. $p(x) < h(x)$

Про оба неравенства сказано, что они не имеют решений. Это означает, что множество решений для первого неравенства — это пустое множество ($\emptyset$), и множество решений для второго неравенства — это также пустое множество ($\emptyset$).

Поскольку множества решений обоих неравенств совпадают (оба являются пустыми), то по определению эти неравенства являются равносильными.

Например, неравенство $x^2 + 1 < 0$ и неравенство $|x| < -5$ не имеют решений в области действительных чисел. Множество решений для каждого из них — $\emptyset$. Следовательно, эти два неравенства равносильны.

Ответ: Да, можно, так как множества решений обоих неравенств совпадают (оба являются пустыми множествами).

3. Даны два неравенства: $f(x) > g(x)$ и $p(x) < h(x)$. В каком случае неравенство $f(x) > g(x)$ является следствием неравенства $p(x) < h(x)$?

Чтобы неравенство $f(x) > g(x)$ являлось следствием неравенства $p(x) < h(x)$, необходимо, чтобы множество решений второго неравенства было подмножеством множества решений первого. Иными словами, для любого значения $x$, для которого верно $p(x) < h(x)$, должно быть верно и $f(x) > g(x)$.

Для того чтобы гарантировать выполнение этого условия, можно установить связь между четырьмя функциями с помощью свойства транзитивности неравенств.

Из условия задачи мы имеем неравенство $p(x) < h(x)$, которое эквивалентно $h(x) > p(x)$. Нам нужно получить из него неравенство $f(x) > g(x)$.

Построим цепочку неравенств, которая свяжет $f(x)$ и $g(x)$. Для этого достаточно, чтобы для всех $x$ из общей области определения функций выполнялась следующая система неравенств: $$ \begin{cases} f(x) \ge h(x) \\ p(x) \ge g(x) \end{cases} $$

Теперь, если для некоторого $x$ выполняется исходное неравенство $p(x) < h(x)$, мы можем, используя указанные выше условия, составить единую цепочку неравенств: $$f(x) \ge h(x) > p(x) \ge g(x)$$

Из данной цепочки по свойству транзитивности ($a \ge b > c \ge d \implies a > d$) напрямую следует, что $f(x) > g(x)$. Таким образом, если предложенные условия выполняются, то из истинности неравенства $p(x) < h(x)$ всегда следует истинность неравенства $f(x) > g(x)$.

Ответ: Неравенство $f(x) > g(x)$ является следствием неравенства $p(x) < h(x)$ в том случае, если для всех $x$ из общей области определения функций одновременно выполняются два условия: $f(x) \ge h(x)$ и $p(x) \ge g(x)$.

4. Даны два неравенства: $f(x) > g(x)$ и $p(x) < h(x)$. Известно, что каждое из них является следствием другого. Можно ли назвать эти неравенства равносильными?

Давайте проанализируем условие задачи, используя определения равносильности и следствия для неравенств.

Два неравенства называются равносильными, если множества их решений полностью совпадают.

Неравенство (А) называется следствием неравенства (Б), если любое решение неравенства (Б) также является решением неравенства (А). Иными словами, множество решений неравенства (Б) является подмножеством множества решений неравенства (А).

Обозначим первое неравенство $f(x) > g(x)$ как Неравенство 1, а второе неравенство $p(x) < h(x)$ как Неравенство 2. Пусть $S_1$ — множество решений Неравенства 1, а $S_2$ — множество решений Неравенства 2.

В задаче дано, что каждое из них является следствием другого. Рассмотрим это условие по частям:

1. Неравенство $f(x) > g(x)$ является следствием неравенства $p(x) < h(x)$.
Это означает, что любое решение Неравенства 2 является решением Неравенства 1. С точки зрения множеств решений, это записывается как $S_2 \subseteq S_1$.

2. Неравенство $p(x) < h(x)$ является следствием неравенства $f(x) > g(x)$.
Это означает, что любое решение Неравенства 1 является решением Неравенства 2. С точки зрения множеств решений, это записывается как $S_1 \subseteq S_2$.

Таким образом, мы имеем два условия одновременно: $S_1 \subseteq S_2$ и $S_2 \subseteq S_1$.

Из аксиом теории множеств следует, что если одно множество является подмножеством второго, а второе — подмножеством первого, то эти множества равны. Следовательно, $S_1 = S_2$.

Поскольку множества решений $S_1$ и $S_2$ данных неравенств равны, то по определению эти неравенства являются равносильными.

Ответ: Да, эти неравенства можно назвать равносильными. Условие, что каждое из двух неравенств является следствием другого, является одним из определений равносильности.

5. Что называют областью определения (областью допустимых значений переменной — ОДЗ) неравенства $f(x) > g(x)$?

Областью определения (или областью допустимых значений — ОДЗ) неравенства вида $f(x) > g(x)$ называют множество всех значений переменной $x$, при которых одновременно имеют смысл (то есть определены) и левая часть неравенства, выражение $f(x)$, и правая часть, выражение $g(x)$.

Пусть $D(f)$ — это область определения функции $y=f(x)$, а $D(g)$ — область определения функции $y=g(x)$. Тогда область определения (ОДЗ) неравенства $f(x) > g(x)$ является пересечением этих двух множеств:

$ОДЗ = D(f) \cap D(g)$

Это означает, что для нахождения ОДЗ неравенства необходимо найти все значения $x$, которые допустимы как для выражения $f(x)$, так и для выражения $g(x)$. Решение неравенства ищется только в пределах найденной ОДЗ.

Рассмотрим пример. Найдем ОДЗ неравенства $\ln(x-1) > \sqrt{5-x}$.

Для левой части $f(x) = \ln(x-1)$ выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным: $x-1 > 0$, то есть $x > 1$. Область определения $D(f) = (1, +\infty)$.

Для правой части $g(x) = \sqrt{5-x}$ выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $5-x \ge 0$, то есть $x \le 5$. Область определения $D(g) = (-\infty, 5]$.

ОДЗ всего неравенства есть пересечение этих двух условий, которое можно записать в виде системы неравенств: $ \begin{cases} x - 1 > 0 \\ 5 - x \ge 0 \end{cases} $ , что равносильно $ \begin{cases} x > 1 \\ x \le 5 \end{cases} $

Решением этой системы является полуинтервал $(1, 5]$. Это и есть область допустимых значений исходного неравенства.

Ответ: Областью определения (областью допустимых значений — ОДЗ) неравенства $f(x) > g(x)$ является пересечение областей определения выражений $f(x)$ и $g(x)$, то есть множество всех значений переменной $x$, при которых обе части неравенства имеют математический смысл.

6. Какие вы знаете равносильные преобразования неравенства с одной переменной?

Равносильными (или эквивалентными) преобразованиями неравенства с одной переменной называются такие преобразования, которые заменяют исходное неравенство другим неравенством, имеющим то же самое множество решений. Важно, что все преобразования выполняются с учетом области допустимых значений (ОДЗ) переменной.

Основные равносильные преобразования:

1. Перенос слагаемых из одной части неравенства в другую

   Любой член неравенства можно перенести из одной части в другую, изменив его знак на противоположный. Это преобразование является следствием прибавления или вычитания одного и того же выражения к обеим частям неравенства.

   Например, неравенство $f(x) > g(x) + c$ равносильно неравенству $f(x) - g(x) > c$.

   Пример: Неравенство $5x - 7 > 3x + 1$ равносильно неравенству $5x - 3x > 1 + 7$, что упрощается до $2x > 8$.

   Ответ: Перенос слагаемого из одной части неравенства в другую с изменением его знака на противоположный является равносильным преобразованием.

2. Умножение или деление обеих частей неравенства на положительное число или выражение

   Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число или на выражение $h(x)$, которое принимает только положительные значения ($h(x) > 0$) на всей области допустимых значений переменной. При этом знак неравенства сохраняется.

   Если $h(x) > 0$ на ОДЗ, то неравенство $f(x) > g(x)$ равносильно неравенству $f(x) \cdot h(x) > g(x) \cdot h(x)$ и, соответственно, $\frac{f(x)}{h(x)} > \frac{g(x)}{h(x)}$.

   Пример: Разделим обе части неравенства $2x > 8$ на 2 (положительное число). Получим равносильное неравенство $x > 4$.

   Пример: Неравенство $\frac{x-1}{x^2+2} > 0$ равносильно неравенству $x-1 > 0$, так как знаменатель $x^2+2$ всегда положителен при любом $x$.

   Ответ: Умножение или деление обеих частей неравенства на одно и то же выражение, положительное на ОДЗ, с сохранением знака неравенства является равносильным преобразованием.

3. Умножение или деление обеих частей неравенства на отрицательное число или выражение

   Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число или на выражение $h(x)$, которое принимает только отрицательные значения ($h(x) < 0$) на всей области допустимых значений переменной. При этом знак неравенства необходимо изменить на противоположный ( $>$ на <, $\geq$ на $\leq$ и т.д.).

   Если $h(x) < 0$ на ОДЗ, то неравенство $f(x) > g(x)$ равносильно неравенству $f(x) \cdot h(x) < g(x) \cdot h(x)$ и, соответственно, $\frac{f(x)}{h(x)} < \frac{g(x)}{h(x)}$.

   Пример: Умножим обе части неравенства $-x > 5$ на -1 (отрицательное число). Получим равносильное неравенство $x < -5$.

   Ответ: Умножение или деление обеих частей неравенства на одно и то же выражение, отрицательное на ОДЗ, с изменением знака неравенства на противоположный является равносильным преобразованием.

4. Применение монотонно возрастающей функции к обеим частям неравенства

   Если к обеим частям неравенства применить одну и ту же строго возрастающую функцию, то получится равносильное неравенство (при условии, что обе части неравенства входят в область определения этой функции). Знак неравенства при этом сохраняется.

   Если $\phi(t)$ — строго возрастающая функция, то неравенство $f(x) > g(x)$ равносильно неравенству $\phi(f(x)) > \phi(g(x))$.

   Примеры таких функций:

   • Возведение в нечетную степень: $f(x) > g(x) \Leftrightarrow (f(x))^{2n+1} > (g(x))^{2n+1}$, где $n \in \mathbb{N}$.
   • Логарифмирование по основанию $a > 1$: если $f(x) > g(x) > 0$, то $\log_a(f(x)) > \log_a(g(x))$.
   • Потенцирование по основанию $a > 1$: $f(x) > g(x) \Leftrightarrow a^{f(x)} > a^{g(x)}$.

   Ответ: Применение строго возрастающей функции к обеим частям неравенства с сохранением знака является равносильным преобразованием на соответствующей области определения.

5. Применение монотонно убывающей функции к обеим частям неравенства

   Если к обеим частям неравенства применить одну и ту же строго убывающую функцию, то получится равносильное неравенство (при условии, что обе части неравенства входят в область определения этой функции). Знак неравенства при этом необходимо изменить на противоположный.

   Если $\psi(t)$ — строго убывающая функция, то неравенство $f(x) > g(x)$ равносильно неравенству $\psi(f(x)) < \psi(g(x))$.

   Примеры таких функций:

   • Логарифмирование по основанию $0 < a < 1$: если $f(x) > g(x) > 0$, то $\log_a(f(x)) < \log_a(g(x))$.
   • Потенцирование по основанию $0 < a < 1$: $f(x) > g(x) \Leftrightarrow a^{f(x)} < a^{g(x)}$.

   Ответ: Применение строго убывающей функции к обеим частям неравенства с изменением знака на противоположный является равносильным преобразованием на соответствующей области определения.

6. Возведение обеих частей неравенства в четную степень

   Возведение обеих частей неравенства в четную натуральную степень является равносильным преобразованием только в том случае, если обе части неравенства неотрицательны на ОДЗ. Знак неравенства при этом сохраняется.

   Если $f(x) \ge 0$ и $g(x) \ge 0$ на ОДЗ, то неравенство $f(x) > g(x)$ равносильно неравенству $(f(x))^{2n} > (g(x))^{2n}$, где $n \in \mathbb{N}$.

   Пример: Неравенство $\sqrt{x+2} > \sqrt{5-x}$ решается возведением в квадрат с учетом ОДЗ, так как обе части по определению арифметического корня неотрицательны. Преобразование приводит к равносильной системе $\begin{cases} x+2 > 5-x \\ x+2 \ge 0 \\ 5-x \ge 0 \end{cases}$.

   Ответ: Возведение в четную степень обеих частей неравенства является равносильным преобразованием при условии их неотрицательности на ОДЗ.

7. Тождественные преобразования выражений

   Замена любого выражения в неравенстве на тождественно равное ему выражение является равносильным преобразованием.

   Пример: В неравенстве $(x+1)^2 - x > 5$ можно раскрыть скобки: $x^2 + 2x + 1 - x > 5$, что равносильно $x^2 + x - 4 > 0$.

   Ответ: Замена выражения на тождественно равное ему является равносильным преобразованием.

7. Какие вы знаете неравносильные преобразования неравенства с одной переменной?

Неравносильные преобразования неравенств – это преобразования, которые приводят к изменению множества решений исходного неравенства. Такое изменение может быть либо расширением множества решений (появлением посторонних корней), либо его сужением (потерей корней). Рассмотрим основные типы таких преобразований.

1. Умножение или деление обеих частей неравенства на выражение, содержащее переменную

Это преобразование является неравносильным, поскольку знак выражения, содержащего переменную, может быть как положительным, так и отрицательным или равным нулю в зависимости от значения переменной. Правило умножения/деления неравенства требует знания знака множителя: при умножении на положительное число знак неравенства сохраняется, а при умножении на отрицательное – меняется на противоположный. Деление на ноль недопустимо.

Пример:

Рассмотрим неравенство $\frac{x+3}{x-2} > 0$.

Неправильное (неравносильное) преобразование – умножить обе части на $(x-2)$: $(x+3) > 0 \cdot (x-2)$, что дает $x > -3$. Это неверное решение, так как не учитывается случай, когда $(x-2) < 0$.

Правильное решение (метод интервалов):

Находим нули числителя ($x=-3$) и знаменателя ($x=2$). Отмечаем эти точки на числовой оси и определяем знаки выражения на каждом интервале. Интервалы: $(-\infty, -3)$, $(-3, 2)$, $(2, +\infty)$.

- При $x>2$, оба множителя положительны, дробь положительна.
- При $-3 < x < 2$, числитель положителен, знаменатель отрицателен, дробь отрицательна.
- При $x<-3$, оба множителя отрицательны, дробь положительна.

Таким образом, решение: $x \in (-\infty, -3) \cup (2, +\infty)$. Сравнивая с неверным решением $x > -3$, мы видим, что неравносильное преобразование привело к потере интервала $(-\infty, -3)$ и приобретению постороннего интервала $(-3, 2)$.

Ответ: Умножение или деление неравенства на выражение с переменной без учета знака этого выражения является неравносильным преобразованием, которое может привести к потере корней и/или приобретению посторонних.

2. Возведение обеих частей неравенства в четную степень (например, в квадрат)

Возведение в квадрат обеих частей неравенства вида $f(x) > g(x)$ является равносильным преобразованием только в том случае, если обе части неотрицательны на области допустимых значений (ОДЗ). В общем случае это преобразование неравносильно и часто приводит к появлению посторонних решений.

Пример:

Рассмотрим неравенство $\sqrt{x+3} < x-1$.

Неправильное (неравносильное) преобразование – сразу возвести в квадрат: $(\sqrt{x+3})^2 < (x-1)^2$
$x+3 < x^2 - 2x + 1$
$x^2 - 3x - 2 > 0$
Корни уравнения $x^2 - 3x - 2 = 0$ равны $x = \frac{3 \pm \sqrt{9+8}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}$. Решением квадратного неравенства является $x \in (-\infty, \frac{3-\sqrt{17}}{2}) \cup (\frac{3+\sqrt{17}}{2}, +\infty)$. Это неверное решение.

Правильное решение:

Поскольку левая часть $\sqrt{x+3}$ неотрицательна, то для выполнения неравенства правая часть $x-1$ должна быть строго положительной. Таким образом, мы должны решать систему, равносильную исходному неравенству: $\begin{cases} x+3 \ge 0 \\ x-1 > 0 \\ x+3 < (x-1)^2 \end{cases}$

Из первых двух неравенств получаем $x \ge -3$ и $x > 1$, что равносильно $x > 1$. Решаем третье неравенство: $x^2 - 3x - 2 > 0$, что дает $x \in (-\infty, \frac{3-\sqrt{17}}{2}) \cup (\frac{3+\sqrt{17}}{2}, +\infty)$. Пересекаем полученное множество с условием $x > 1$. Так как $\frac{3-\sqrt{17}}{2} \approx \frac{3-4.12}{2} \approx -0.56$, а $\frac{3+\sqrt{17}}{2} \approx \frac{3+4.12}{2} \approx 3.56$, то итоговое решение: $x \in (\frac{3+\sqrt{17}}{2}, +\infty)$.

Следовательно, неверное преобразование привело к появлению постороннего множества решений.

Ответ: Возведение обеих частей неравенства в четную степень без учета знаков выражений является неравносильным преобразованием, обычно приводящим к расширению множества решений.

3. Неверное применение логарифмирования

Логарифмирование обеих частей неравенства $f(x) > g(x)$ возможно только тогда, когда обе части строго положительны ($f(x)>0$ и $g(x)>0$). Если это условие не проверено, преобразование является неравносильным, так как оно сужает область допустимых значений.

Пример:

Рассмотрим неравенство $x^2 > x$.

Правильное решение: $x^2 - x > 0 \Rightarrow x(x-1) > 0$. Решением является $x \in (-\infty, 0) \cup (1, +\infty)$.

Неправильное (неравносильное) преобразование – прологарифмировать по основанию 10: $\log_{10}(x^2) > \log_{10}(x)$. Это действие сразу требует, чтобы $x^2>0$ и $x>0$, что в совокупности дает $x>0$. Исходное неравенство имело решения и при $x<0$. Таким образом, мы потеряли целый интервал $(-\infty, 0)$. Дальнейшее решение $2\log_{10}|x| > \log_{10}(x)$ (с учетом $x>0$ это $2\log_{10}x > \log_{10}x$) $\Rightarrow \log_{10}(x) > 0 \Rightarrow x > 1$ приводит к части верного ответа, но множество решений было сужено в самом начале.

Ответ: Логарифмирование обеих частей неравенства без проверки их положительности является неравносильным преобразованием, которое приводит к сужению ОДЗ и потере корней.

8. Что называют системой неравенств с одной переменной? Что называют частным решением системы неравенств? Что называют общим решением (или просто решением) системы неравенств?

Что называют системой неравенств с одной переменной?

Системой неравенств с одной переменной называют два или более неравенства, которые содержат одну и ту же переменную и должны выполняться одновременно. Задача состоит в том, чтобы найти все значения переменной, которые являются решением каждого из неравенств системы. Системы неравенств принято записывать с помощью фигурной скобки, которая означает логическое "и".

Общий вид системы неравенств с переменной $x$ может быть таким: $$ \begin{cases} f_1(x) > 0 \\ f_2(x) < 0 \\ ... \\ f_n(x) \ge 0 \end{cases} $$ Здесь требуется найти все такие значения $x$, которые одновременно удовлетворяют всем $n$ неравенствам.

Ответ: Системой неравенств с одной переменной называют совокупность нескольких неравенств с одной и той же переменной, для которых нужно найти общие решения, то есть значения переменной, удовлетворяющие каждому из неравенств.

Что называют частным решением системы неравенств?

Частным решением системы неравенств называется любое конкретное значение переменной, при подстановке которого в каждое из неравенств системы получается верное числовое неравенство. Иными словами, это одно число из множества всех возможных решений.

Например, рассмотрим систему: $$ \begin{cases} x > 5 \\ x \le 10 \end{cases} $$ Значение $x=7$ является частным решением этой системы, так как оба неравенства при этом значении становятся верными: $7 > 5$ (истинно) и $7 \le 10$ (истинно). В то же время, значение $x=4$ не является решением, так как оно не удовлетворяет первому неравенству ($4 > 5$ — ложно). Значение $x=11$ также не является решением, так как оно не удовлетворяет второму неравенству ($11 \le 10$ — ложно).

Ответ: Частным решением системы неравенств является одно конкретное значение переменной, которое обращает каждое неравенство системы в верное числовое высказывание.

Что называют общим решением (или просто решением) системы неравенств?

Общим решением (или просто решением) системы неравенств называется множество всех её частных решений. Решить систему неравенств — это значит найти все её решения или доказать, что их нет. Чаще всего решение представляет собой числовой промежуток (интервал, отрезок, луч) или объединение нескольких таких промежутков.

Алгоритм нахождения общего решения системы неравенств:

1. Решить каждое неравенство системы по отдельности, определив для каждого множество его решений.
2. Найти пересечение (общую часть) множеств решений, найденных на первом шаге. Полученное пересечение и является общим решением системы неравенств.

Для системы из предыдущего примера: $$ \begin{cases} x > 5 \\ x \le 10 \end{cases} $$ Решением первого неравенства является числовой промежуток $x \in (5, +\infty)$. Решением второго неравенства является промежуток $x \in (-\infty, 10]$. Общим решением системы будет пересечение этих двух множеств: $(5, +\infty) \cap (-\infty, 10] = (5, 10]$. Это и есть общее решение, которое представляет собой полуинтервал.

Ответ: Общим решением системы неравенств называется множество всех значений переменной, которые удовлетворяют одновременно всем неравенствам, входящим в систему.

9. Что называют совокупностью неравенств с одной переменной? Что называют частным решением совокупности неравенств? Что называют общим решением (или просто решением) совокупности неравенств?

Что называют совокупностью неравенств с одной переменной?

Если даны несколько неравенств с одной переменной и ставится задача найти все значения переменной, удовлетворяющие хотя бы одному из этих неравенств, то говорят, что задана совокупность неравенств.

Это означает, что мы ищем значения переменной, которые являются решением первого неравенства, или второго неравенства, или третьего, и так далее. Иными словами, мы объединяем множества решений всех неравенств, входящих в совокупность.

Совокупность неравенств принято обозначать с помощью квадратной скобки. Например, совокупность двух неравенств $f(x) > 0$ и $g(x) < 0$ записывается так:

$ \left[ \begin{aligned} &f(x) > 0, \\ &g(x) < 0. \end{aligned} \right. $

Ответ: Совокупностью неравенств с одной переменной называют несколько неравенств, для которых нужно найти все значения переменной, удовлетворяющие хотя бы одному из них.

Что называют частным решением совокупности неравенств?

Частным решением совокупности неравенств с одной переменной называют любое конкретное значение переменной, при подстановке которого хотя бы одно из неравенств совокупности обращается в верное числовое неравенство.

Например, рассмотрим совокупность:

$ \left[ \begin{aligned} &x > 10, \\ &x < 0. \end{aligned} \right. $

Значение $x = 12$ является частным решением этой совокупности, так как оно удовлетворяет первому неравенству ($12 > 10$ — верно). Значение $x = -5$ также является частным решением, так как оно удовлетворяет второму неравенству ($-5 < 0$ — верно). А вот значение $x = 5$ не является частным решением, так как оно не удовлетворяет ни одному из неравенств ($5 > 10$ — ложно, $5 < 0$ — ложно).

Ответ: Частным решением совокупности неравенств называют любое значение переменной, которое является решением хотя бы одного из неравенств данной совокупности.

Что называют общим решением (или просто решением) совокупности неравенств?

Общим решением (или просто решением) совокупности неравенств называют множество всех её частных решений.

Чтобы найти общее решение совокупности, нужно найти решения каждого неравенства в отдельности, а затем объединить полученные множества решений. Объединение множеств — это множество, содержащее все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из исходных множеств.

Вернемся к предыдущему примеру:

$ \left[ \begin{aligned} &x > 10, \\ &x < 0. \end{aligned} \right. $

Решением первого неравенства является промежуток $(10; +\infty)$. Решением второго неравенства является промежуток $(-\infty; 0)$. Общим решением совокупности будет объединение этих двух промежутков: $(-\infty; 0) \cup (10; +\infty)$.

Ответ: Общим решением (или просто решением) совокупности неравенств называют множество всех значений переменной, при которых хотя бы одно из неравенств совокупности становится верным. Это множество является объединением множеств решений всех неравенств, входящих в совокупность.

10. Пусть множество A — решение неравенства $f(x) > g(x)$, а множество B — решение неравенства $p(x) < h(x)$. Что является решением

системы неравенств $\begin{cases} f(x) > g(x), \\ p(x) < h(x)? \end{cases}$

По определению, данным в условии, множество $A$ является множеством решений неравенства $f(x) > g(x)$. Это значит, что для любого элемента $x$ из множества $A$ (записывается как $x \in A$) неравенство $f(x) > g(x)$ является верным.

Аналогично, множество $B$ является множеством решений неравенства $p(x) < h(x)$. Это значит, что для любого элемента $x$ из множества $B$ ($x \in B$) неравенство $p(x) < h(x)$ является верным.

Решением системы неравенств $$ \begin{cases} f(x) > g(x) \\ p(x) < h(x) \end{cases} $$ называется множество всех значений $x$, при которых оба неравенства системы выполняются одновременно.

Таким образом, мы ищем множество всех таких $x$, которые одновременно удовлетворяют условию $f(x) > g(x)$ (то есть принадлежат множеству $A$) и условию $p(x) < h(x)$ (то есть принадлежат множеству $B$).

Множество, содержащее все элементы, которые принадлежат и множеству $A$, и множеству $B$, называется пересечением этих множеств и обозначается как $A \cap B$.

Следовательно, решением данной системы неравенств является пересечение множеств $A$ и $B$.

Ответ: Пересечение множеств $A$ и $B$, то есть $A \cap B$.