Номер 2, страница 423, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §57 - номер 2, страница 423.

Условие.

2. Известно, что оба неравенства $f(x) > g(x)$ и $p(x) < h(x)$ не имеют решений. Можно ли назвать их равносильными?

Решение 6.

Да, эти неравенства можно назвать равносильными. Чтобы понять почему, обратимся к определению равносильности.

Два неравенства (или уравнения) называются равносильными, если множества их решений полностью совпадают.

В условии задачи даны два неравенства:

1. $f(x) > g(x)$
2. $p(x) < h(x)$

Про оба неравенства сказано, что они не имеют решений. Это означает, что множество решений для первого неравенства — это пустое множество ($\emptyset$), и множество решений для второго неравенства — это также пустое множество ($\emptyset$).

Поскольку множества решений обоих неравенств совпадают (оба являются пустыми), то по определению эти неравенства являются равносильными.

Например, неравенство $x^2 + 1 < 0$ и неравенство $|x| < -5$ не имеют решений в области действительных чисел. Множество решений для каждого из них — $\emptyset$. Следовательно, эти два неравенства равносильны.

Ответ: Да, можно, так как множества решений обоих неравенств совпадают (оба являются пустыми множествами).