Номер 3, страница 423, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §57 - номер 3, страница 423.

Условие.

3. Даны два неравенства: $f(x) > g(x)$ и $p(x) < h(x)$. В каком случае неравенство $f(x) > g(x)$ является следствием неравенства $p(x) < h(x)$?

Решение 6.

Чтобы неравенство $f(x) > g(x)$ являлось следствием неравенства $p(x) < h(x)$, необходимо, чтобы множество решений второго неравенства было подмножеством множества решений первого. Иными словами, для любого значения $x$, для которого верно $p(x) < h(x)$, должно быть верно и $f(x) > g(x)$.

Для того чтобы гарантировать выполнение этого условия, можно установить связь между четырьмя функциями с помощью свойства транзитивности неравенств.

Из условия задачи мы имеем неравенство $p(x) < h(x)$, которое эквивалентно $h(x) > p(x)$. Нам нужно получить из него неравенство $f(x) > g(x)$.

Построим цепочку неравенств, которая свяжет $f(x)$ и $g(x)$. Для этого достаточно, чтобы для всех $x$ из общей области определения функций выполнялась следующая система неравенств: $$ \begin{cases} f(x) \ge h(x) \\ p(x) \ge g(x) \end{cases} $$

Теперь, если для некоторого $x$ выполняется исходное неравенство $p(x) < h(x)$, мы можем, используя указанные выше условия, составить единую цепочку неравенств: $$f(x) \ge h(x) > p(x) \ge g(x)$$

Из данной цепочки по свойству транзитивности ($a \ge b > c \ge d \implies a > d$) напрямую следует, что $f(x) > g(x)$. Таким образом, если предложенные условия выполняются, то из истинности неравенства $p(x) < h(x)$ всегда следует истинность неравенства $f(x) > g(x)$.

Ответ: Неравенство $f(x) > g(x)$ является следствием неравенства $p(x) < h(x)$ в том случае, если для всех $x$ из общей области определения функций одновременно выполняются два условия: $f(x) \ge h(x)$ и $p(x) \ge g(x)$.