Номер 2, страница 410, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §56. ч. 1 - номер 2, страница 410.

2. В чём состоит метод разложения на множители при решении уравнений с одной переменной?

Метод разложения на множители при решении уравнений с одной переменной заключается в преобразовании исходного уравнения к виду, где одна из частей равна нулю, а другая представляет собой произведение нескольких выражений (множителей).

Этот метод основан на фундаментальном свойстве чисел: произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из его множителей равен нулю.

Таким образом, уравнение вида $f(x) = 0$ после разложения левой части на множители принимает вид: $f_1(x) \cdot f_2(x) \cdot \ldots \cdot f_n(x) = 0$

Решение такого уравнения сводится к решению совокупности более простых уравнений: $f_1(x) = 0$
$f_2(x) = 0$
...
$f_n(x) = 0$

Корни исходного уравнения являются объединением корней всех этих простых уравнений. При этом важно, чтобы для каждого найденного корня все множители в разложенном уравнении были определены (имели смысл).

Алгоритм решения уравнения методом разложения на множители:

1. Перенести все члены уравнения в левую часть, чтобы справа остался нуль.
2. Разложить полученное выражение в левой части на множители, используя различные алгебраические методы (вынесение общего множителя, формулы сокращенного умножения, метод группировки и т.д.).
3. Приравнять каждый из полученных множителей к нулю.
4. Решить каждое из этих новых, более простых уравнений.
5. Объединить все найденные корни — это и будет решение исходного уравнения.

Пример:

Решить уравнение $x^3 + 2x^2 - 3x = 0$.

1. Уравнение уже имеет вид $f(x) = 0$.
2. Разложим левую часть на множители. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x^2 + 2x - 3) = 0$
Теперь разложим квадратный трёхчлен $x^2 + 2x - 3$ на множители. Для этого найдем его корни по теореме Виета или через дискриминант. Корнями уравнения $x^2 + 2x - 3 = 0$ являются $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$. Тогда $x^2 + 2x - 3 = (x - 1)(x - (-3)) = (x-1)(x+3)$.
Исходное уравнение принимает вид:
$x(x - 1)(x + 3) = 0$
3. Приравняем каждый множитель к нулю:
$x = 0$ или $x - 1 = 0$ или $x + 3 = 0$.
4. Решаем каждое уравнение:
$x_1 = 0$
$x_2 = 1$
$x_3 = -3$
5. Все найденные значения являются корнями исходного уравнения.

Ответ: Метод разложения на множители позволяет свести решение сложного уравнения к решению нескольких более простых уравнений, основываясь на том, что произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Для этого уравнение приводят к виду $f(x) = 0$, затем выражение $f(x)$ раскладывают на множители и каждый из них приравнивают к нулю.