Номер 8, страница 403, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §55. ч. 1 - номер 8, страница 403.

8. Какие вы знаете неравносильные преобразования уравнения?

Неравносильные (или неэквивалентные) преобразования уравнения — это такие преобразования, которые изменяют множество корней исходного уравнения. В результате таких преобразований либо появляются посторонние корни (уравнение-следствие имеет больше корней, чем исходное), либо происходит потеря корней (уравнение-следствие имеет меньше корней).

Рассмотрим основные типы таких преобразований.

1. Возведение обеих частей уравнения в четную степень

Это преобразование часто приводит к появлению посторонних корней. Это связано с тем, что из равенства $A^2 = B^2$ не следует, что $A=B$, а следует, что $A = B$ или $A = -B$. То есть, при возведении в квадрат теряется информация о знаке исходных выражений.

Пример: Дано иррациональное уравнение $\sqrt{x+2} = x$.

Возведем обе части в квадрат, чтобы избавиться от радикала: $(\sqrt{x+2})^2 = x^2$, что приводит к уравнению $x+2 = x^2$.

Перенеся все члены в одну часть, получим квадратное уравнение: $x^2 - x - 2 = 0$.

Корни этого уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Однако эти корни необходимо проверить, подставив их в исходное уравнение:

• Проверка для $x=2$: $\sqrt{2+2} = \sqrt{4} = 2$. В правой части уравнения стоит $x=2$. Равенство $2=2$ верное. Значит, $x=2$ — корень.
• Проверка для $x=-1$: $\sqrt{-1+2} = \sqrt{1} = 1$. В правой части уравнения стоит $x=-1$. Равенство $1=-1$ неверное. Значит, $x=-1$ — посторонний корень, появившийся в результате возведения в квадрат.

Ответ: Возведение обеих частей уравнения в четную степень является неравносильным преобразованием, которое может привести к появлению посторонних корней, поэтому после такого преобразования обязательна проверка найденных корней.

2. Деление или умножение обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестное

Такое преобразование может привести как к потере корней, так и к приобретению посторонних.

Пример (потеря корней): Дано уравнение $x^2 = 4x$.

Если мы разделим обе части на $x$, мы получим $x=4$. При этом мы неявно предположили, что $x \neq 0$. Но $x=0$ является корнем исходного уравнения ($0^2 = 4 \cdot 0$), который был потерян. Правильный способ — перенос всех членов в одну сторону и факторизация: $x^2-4x = 0 \Rightarrow x(x-4)=0$, откуда $x=0$ или $x=4$.

Пример (приобретение корней): Дано уравнение $\frac{x^2-1}{x-1} = 2$.

Если мы умножим обе части на $(x-1)$, то получим $x^2-1 = 2(x-1)$, что равносильно $x^2-1 = 2x-2$, или $x^2-2x+1=0$. Это уравнение $(x-1)^2=0$ имеет единственный корень $x=1$. Однако этот корень является посторонним, так как в исходном уравнении знаменатель $x-1$ не может быть равен нулю, то есть $x \neq 1$. Исходное уравнение вообще не имеет корней (так как после сокращения дроби при $x \neq 1$ получается $x+1=2$, откуда $x=1$, что противоречит условию $x \neq 1$).

Ответ: Деление на выражение с переменной может привести к потере корней (если это выражение равно нулю), а умножение — к приобретению посторонних корней (если это выражение равно нулю).

3. Применение тождеств, изменяющих область допустимых значений (ОДЗ)

Использование некоторых формул и тождеств может сужать или расширять ОДЗ уравнения, что приводит к потере или приобретению корней.

Пример (сужение ОДЗ и потеря корня): Дано уравнение $\log_2(x^2) = 4$.

Выражение $\log_2(x^2)$ определено для всех $x \neq 0$. Если мы применим свойство логарифма $\log_a(b^n) = n \cdot \log_a(b)$ без учета ОДЗ, мы получим $2\log_2(x) = 4$, или $\log_2(x)=2$. Выражение $\log_2(x)$ определено только для $x > 0$. Таким образом, ОДЗ сузилось с $x \neq 0$ до $x>0$.

• Решение исходного уравнения $\log_2(x^2)=4$: $x^2 = 2^4 = 16$, откуда $x=\pm 4$.
• Решение преобразованного уравнения $\log_2(x)=2$: $x=2^2=4$.

Корень $x=-4$ был утерян. Правильное тождество: $\log_a(f(x)^{2k}) = 2k \cdot \log_a|f(x)|$.

Ответ: Применение математических тождеств (особенно логарифмических и тригонометрических) без учета их области применимости может изменить ОДЗ уравнения и привести к потере или приобретению корней.

4. Потенцирование (избавление от логарифмов)

Переход от уравнения вида $\log_a f(x) = \log_a g(x)$ к уравнению $f(x) = g(x)$ может привести к появлению посторонних корней, так как ОДЗ ($f(x)>0$, $g(x)>0$) не учитывается в уравнении-следствии.

Пример: Дано уравнение $\log_{0.5}(x^2 - 5x + 8) = \log_{0.5}(2)$.

Выполняем потенцирование: $x^2 - 5x + 8 = 2$, что дает $x^2 - 5x + 6 = 0$.

Корни этого квадратного уравнения: $x_1=2$ и $x_2=3$.

Теперь нужно проверить, удовлетворяют ли эти корни ОДЗ исходного уравнения, а именно условию $x^2 - 5x + 8 > 0$. Парабола $y=x^2-5x+8$ имеет вершину в точке $x_v = -b/(2a) = 5/2$, а значение в вершине $y_v = (5/2)^2 - 5(5/2) + 8 = 6.25 - 12.5 + 8 = 1.75 > 0$. Так как ветви параболы направлены вверх, выражение $x^2 - 5x + 8$ всегда положительно. Следовательно, оба корня, $2$ и $3$, являются решениями.

Рассмотрим другой пример: $\log_2(x-3) + \log_2(x-2) = 1$. Применив свойство суммы логарифмов, получим $\log_2((x-3)(x-2))=1$. Потенцируя, имеем $(x-3)(x-2)=2^1 \Rightarrow x^2-5x+6=2 \Rightarrow x^2-5x+4=0$. Корни: $x_1=1, x_2=4$. Проверим ОДЗ: $x-3>0$ и $x-2>0$, что равносильно $x>3$. Корень $x=1$ не удовлетворяет ОДЗ, он посторонний. Корень $x=4$ удовлетворяет.

Ответ: Потенцирование логарифмических уравнений является неравносильным преобразованием, которое расширяет ОДЗ и может привести к появлению посторонних корней, поэтому требуется проверка корней или предварительный анализ ОДЗ.