Номер 13, страница 403, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §55. ч. 1 - номер 13, страница 403.

13. Укажите основные причины возможной потери корней при решении уравнений с одной переменной.

Потеря корней при решении уравнений с одной переменной — это распространенная ошибка, которая возникает из-за выполнения неэквивалентных (неравносильных) преобразований, сужающих множество решений исходного уравнения. Основные причины можно сгруппировать следующим образом:

1. Деление обеих частей уравнения на выражение, содержащее переменную

Это одна из самых частых причин потери корней. Если обе части уравнения $f(x) \cdot g(x) = h(x) \cdot g(x)$ разделить на общий множитель $g(x)$, мы получим уравнение $f(x)=h(x)$. Это преобразование является корректным только при условии, что $g(x) \neq 0$. Если же существуют такие значения переменной, при которых $g(x) = 0$ и которые одновременно являются корнями исходного уравнения, то эти корни будут утеряны.

Правильный способ решения — перенести все члены в одну часть и вынести общий множитель за скобки:

$f(x) \cdot g(x) - h(x) \cdot g(x) = 0$

$g(x) \cdot (f(x) - h(x)) = 0$

Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений: $g(x)=0$ и $f(x)-h(x)=0$.

Пример: Решить уравнение $(x-2)^2 = 3(x-2)$.

Неправильное решение: Разделим обе части на $(x-2)$. Получим $x-2=3$, откуда $x=5$. В этом случае потерян корень.

Правильное решение: Перенесем все в левую часть и вынесем $(x-2)$ за скобки:

$(x-2)^2 - 3(x-2) = 0$

$(x-2)( (x-2) - 3 ) = 0$

$(x-2)(x-5) = 0$

Отсюда $x-2=0$ или $x-5=0$. Корни: $x_1=2$, $x_2=5$.

Ответ: Деление уравнения на выражение с переменной, которое может обращаться в ноль, приводит к потере корней, обращающих это выражение в ноль.

2. Применение преобразований, сужающих Область Допустимых Значений (ОДЗ)

Некоторые формулы и тождества верны лишь при определенных ограничениях, и их бездумное применение может сузить ОДЗ исходного уравнения, что приведет к потере корней, не входящих в новую, более узкую область.

Пример с логарифмами: Использование формулы $\log_a(b^p) = p \cdot \log_a(b)$.

Эта формула в общем виде неверна. Правильная формула для четной степени: $\log_a(f(x)^{2k}) = 2k \cdot \log_a|f(x)|$. Выражение $\log_a(f(x)^2)$ определено для всех $x$, где $f(x) \neq 0$. В то же время выражение $2\log_a(f(x))$ определено только для $f(x) > 0$. Замена первого на второе сужает ОДЗ и отбрасывает корни, для которых $f(x) < 0$.

Решим уравнение $\log_2(x^2) = 4$.

Неправильное решение: $2\log_2(x) = 4 \implies \log_2(x) = 2 \implies x=4$. Потерян корень $x=-4$.

Правильное решение: По определению логарифма $x^2 = 2^4 \implies x^2 = 16 \implies x = \pm 4$.

Пример с корнями: Использование формулы $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$.

Эта формула верна только для $a \ge 0$ и $b \ge 0$. Выражение $\sqrt{f(x)g(x)}$ определено, когда $f(x)g(x) \ge 0$, а выражение $\sqrt{f(x)}\sqrt{g(x)}$ определено, когда одновременно $f(x) \ge 0$ и $g(x) \ge 0$. Второе условие является более строгим.

Решим уравнение $\sqrt{(x+3)(x-1)} = \sqrt{x+3}\sqrt{x-1}$. Потеря корней здесь происходит при переходе от левой части к правой. ОДЗ левой части: $(x+3)(x-1) \ge 0 \implies x \in (-\infty; -3] \cup [1; \infty)$. ОДЗ правой части: $x+3 \ge 0$ и $x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$. Таким образом, преобразование отбрасывает промежуток $(-\infty; -3]$, на котором могут быть корни.

Ответ: Применение формул (например, для логарифмов, корней) без учета их области применимости может привести к сужению ОДЗ и, как следствие, к потере корней.

3. Выполнение неэквивалентного перехода без учета всех случаев

Эта ошибка связана с такими операциями, как возведение в квадрат, извлечение корня или раскрытие модуля, когда рассматривается только один из возможных вариантов.

Пример с извлечением корня: Решить уравнение $(2x-1)^2 = (x+4)^2$.

Уравнение вида $A^2=B^2$ равносильно совокупности $A=B$ и $A=-B$.

Неправильное решение: Извлечем корень из обеих частей: $2x-1 = x+4 \implies x=5$. Потеряна вторая серия решений.

Правильное решение: Рассматриваем два случая:

1) $2x-1 = x+4 \implies x=5$.

2) $2x-1 = -(x+4) \implies 2x-1 = -x-4 \implies 3x = -3 \implies x=-1$.

Корни: $x_1=5$, $x_2=-1$.

Аналогичная ошибка происходит при раскрытии модуля в уравнении вида $|f(x)| = g(x)$, если рассмотреть только случай $f(x)=g(x)$ и забыть про $f(x)=-g(x)$.

Ответ: При решении уравнений, содержащих четные степени или модули, необходимо рассматривать все возможные случаи, возникающие при преобразованиях, чтобы не потерять часть корней.

4. Нахождение только частных решений вместо общих в тригонометрии

При решении тригонометрических уравнений часто используется замена переменной. После нахождения значений для новой переменной (например, $t=\sin x$), необходимо найти все значения $x$, соответствующие каждому найденному значению $t$. Ошибка состоит в том, чтобы записать только одно частное решение (арксинус, арккосинус и т.д.), забывая про периодичность тригонометрических функций.

Пример: Решить уравнение $2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0$.

Пусть $t = \cos x$, где $|t| \le 1$. Уравнение принимает вид $2t^2 - t - 1 = 0$.

Корни этого квадратного уравнения: $t_1=1$ и $t_2 = -1/2$. Оба корня удовлетворяют условию $|t| \le 1$.

Выполняем обратную замену:

1) $\cos x = 1$

2) $\cos x = -1/2$

Неполное решение: Найти по одному корню для каждого случая, например, $x=0$ для первого и $x=2\pi/3$ для второго.

Правильное решение: Записать все серии решений.

1) $\cos x = 1 \implies x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos x = -1/2 \implies x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Таким образом, уравнение имеет бесконечное множество корней, сгруппированных в две серии.

Ответ: В тригонометрических уравнениях необходимо находить общие решения (все серии корней), а не ограничиваться частными значениями.