Номер 4, страница 411, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §56 - номер 4, страница 411.

Условие.

4. Как можно использовать графики функций для решения уравнения с одной переменной?

Решение 6.

Для решения уравнения с одной переменной можно использовать графический метод. Этот метод позволяет визуализировать уравнение, определить количество его действительных корней и найти их приближенные (а в некоторых случаях и точные) значения. Суть метода заключается в том, чтобы свести решение алгебраического уравнения к геометрической задаче по нахождению координат точек пересечения графиков.

Существует два основных подхода к реализации этого метода.

Первый подход основан на представлении исходного уравнения в виде равенства двух функций: $f(x) = g(x)$. Для этого может потребоваться перенести некоторые члены уравнения из одной части в другую. Затем необходимо выполнить следующие шаги:

1. Построить в одной декартовой системе координат графики функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$.
2. Найти все точки пересечения этих графиков.
3. Абсциссы (координаты $x$) найденных точек пересечения и будут являться решениями (корнями) исходного уравнения. Если графики не имеют точек пересечения, то уравнение не имеет действительных корней.

Например, чтобы решить уравнение $x^3 = x + 6$, нужно построить графики кубической параболы $y=x^3$ и прямой $y=x+6$. Абсцисса их единственной точки пересечения $x=2$ и будет корнем данного уравнения.

Второй подход является частным случаем первого и применяется к уравнениям, приведенным к виду $F(x) = 0$. В этом случае левая часть уравнения рассматривается как функция $y = F(x)$, а правая — как функция $y = 0$, графиком которой является ось абсцисс ($Ox$). Алгоритм в этом случае таков:

1. Перенести все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить вид $F(x) = 0$.
2. Построить график функции $y = F(x)$.
3. Найти точки пересечения этого графика с осью $Ox$.
4. Абсциссы этих точек (их еще называют нулями функции) и являются корнями уравнения.

Например, для решения уравнения $x^2 - x - 2 = 0$, строят график параболы $y = x^2 - x - 2$. Этот график пересекает ось $Ox$ в точках с абсциссами $x=-1$ и $x=2$, которые и являются решениями уравнения.

Ответ: Для графического решения уравнения с одной переменной его нужно представить в виде $f(x)=g(x)$, построить графики функций $y=f(x)$ и $y=g(x)$, а затем найти абсциссы точек их пересечения. Эти абсциссы и будут корнями уравнения. Альтернативно, можно привести уравнение к виду $F(x)=0$, построить график функции $y=F(x)$ и найти абсциссы точек его пересечения с осью $Ox$.