Номер 6, страница 423, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §57 - номер 6, страница 423.

Условие.

6. Какие вы знаете равносильные преобразования неравенства с одной переменной?

Решение 6.

Равносильными (или эквивалентными) преобразованиями неравенства с одной переменной называются такие преобразования, которые заменяют исходное неравенство другим неравенством, имеющим то же самое множество решений. Важно, что все преобразования выполняются с учетом области допустимых значений (ОДЗ) переменной.

Основные равносильные преобразования:

1. Перенос слагаемых из одной части неравенства в другую

   Любой член неравенства можно перенести из одной части в другую, изменив его знак на противоположный. Это преобразование является следствием прибавления или вычитания одного и того же выражения к обеим частям неравенства.

   Например, неравенство $f(x) > g(x) + c$ равносильно неравенству $f(x) - g(x) > c$.

   Пример: Неравенство $5x - 7 > 3x + 1$ равносильно неравенству $5x - 3x > 1 + 7$, что упрощается до $2x > 8$.

   Ответ: Перенос слагаемого из одной части неравенства в другую с изменением его знака на противоположный является равносильным преобразованием.

2. Умножение или деление обеих частей неравенства на положительное число или выражение

   Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число или на выражение $h(x)$, которое принимает только положительные значения ($h(x) > 0$) на всей области допустимых значений переменной. При этом знак неравенства сохраняется.

   Если $h(x) > 0$ на ОДЗ, то неравенство $f(x) > g(x)$ равносильно неравенству $f(x) \cdot h(x) > g(x) \cdot h(x)$ и, соответственно, $\frac{f(x)}{h(x)} > \frac{g(x)}{h(x)}$.

   Пример: Разделим обе части неравенства $2x > 8$ на 2 (положительное число). Получим равносильное неравенство $x > 4$.

   Пример: Неравенство $\frac{x-1}{x^2+2} > 0$ равносильно неравенству $x-1 > 0$, так как знаменатель $x^2+2$ всегда положителен при любом $x$.

   Ответ: Умножение или деление обеих частей неравенства на одно и то же выражение, положительное на ОДЗ, с сохранением знака неравенства является равносильным преобразованием.

3. Умножение или деление обеих частей неравенства на отрицательное число или выражение

   Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число или на выражение $h(x)$, которое принимает только отрицательные значения ($h(x) < 0$) на всей области допустимых значений переменной. При этом знак неравенства необходимо изменить на противоположный ( $>$ на <, $\geq$ на $\leq$ и т.д.).

   Если $h(x) < 0$ на ОДЗ, то неравенство $f(x) > g(x)$ равносильно неравенству $f(x) \cdot h(x) < g(x) \cdot h(x)$ и, соответственно, $\frac{f(x)}{h(x)} < \frac{g(x)}{h(x)}$.

   Пример: Умножим обе части неравенства $-x > 5$ на -1 (отрицательное число). Получим равносильное неравенство $x < -5$.

   Ответ: Умножение или деление обеих частей неравенства на одно и то же выражение, отрицательное на ОДЗ, с изменением знака неравенства на противоположный является равносильным преобразованием.

4. Применение монотонно возрастающей функции к обеим частям неравенства

   Если к обеим частям неравенства применить одну и ту же строго возрастающую функцию, то получится равносильное неравенство (при условии, что обе части неравенства входят в область определения этой функции). Знак неравенства при этом сохраняется.

   Если $\phi(t)$ — строго возрастающая функция, то неравенство $f(x) > g(x)$ равносильно неравенству $\phi(f(x)) > \phi(g(x))$.

   Примеры таких функций:

   • Возведение в нечетную степень: $f(x) > g(x) \Leftrightarrow (f(x))^{2n+1} > (g(x))^{2n+1}$, где $n \in \mathbb{N}$.
   • Логарифмирование по основанию $a > 1$: если $f(x) > g(x) > 0$, то $\log_a(f(x)) > \log_a(g(x))$.
   • Потенцирование по основанию $a > 1$: $f(x) > g(x) \Leftrightarrow a^{f(x)} > a^{g(x)}$.

   Ответ: Применение строго возрастающей функции к обеим частям неравенства с сохранением знака является равносильным преобразованием на соответствующей области определения.

5. Применение монотонно убывающей функции к обеим частям неравенства

   Если к обеим частям неравенства применить одну и ту же строго убывающую функцию, то получится равносильное неравенство (при условии, что обе части неравенства входят в область определения этой функции). Знак неравенства при этом необходимо изменить на противоположный.

   Если $\psi(t)$ — строго убывающая функция, то неравенство $f(x) > g(x)$ равносильно неравенству $\psi(f(x)) < \psi(g(x))$.

   Примеры таких функций:

   • Логарифмирование по основанию $0 < a < 1$: если $f(x) > g(x) > 0$, то $\log_a(f(x)) < \log_a(g(x))$.
   • Потенцирование по основанию $0 < a < 1$: $f(x) > g(x) \Leftrightarrow a^{f(x)} < a^{g(x)}$.

   Ответ: Применение строго убывающей функции к обеим частям неравенства с изменением знака на противоположный является равносильным преобразованием на соответствующей области определения.

6. Возведение обеих частей неравенства в четную степень

   Возведение обеих частей неравенства в четную натуральную степень является равносильным преобразованием только в том случае, если обе части неравенства неотрицательны на ОДЗ. Знак неравенства при этом сохраняется.

   Если $f(x) \ge 0$ и $g(x) \ge 0$ на ОДЗ, то неравенство $f(x) > g(x)$ равносильно неравенству $(f(x))^{2n} > (g(x))^{2n}$, где $n \in \mathbb{N}$.

   Пример: Неравенство $\sqrt{x+2} > \sqrt{5-x}$ решается возведением в квадрат с учетом ОДЗ, так как обе части по определению арифметического корня неотрицательны. Преобразование приводит к равносильной системе $\begin{cases} x+2 > 5-x \\ x+2 \ge 0 \\ 5-x \ge 0 \end{cases}$.

   Ответ: Возведение в четную степень обеих частей неравенства является равносильным преобразованием при условии их неотрицательности на ОДЗ.

7. Тождественные преобразования выражений

   Замена любого выражения в неравенстве на тождественно равное ему выражение является равносильным преобразованием.

   Пример: В неравенстве $(x+1)^2 - x > 5$ можно раскрыть скобки: $x^2 + 2x + 1 - x > 5$, что равносильно $x^2 + x - 4 > 0$.

   Ответ: Замена выражения на тождественно равное ему является равносильным преобразованием.