Номер 2, страница 429, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §58 - номер 2, страница 429.

Условие.

2. Расскажите, как в прямоугольной системе координат $xOy$ вы найдёте решение неравенства:

а) $y > 2x - 3$;

б) $y \leq 2x - 3$;

в) $y \geq x^2$;

г) $y < \sqrt{x}$;

д) $2x + 3y > 6$;

е) $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 \leq 4$.

Решение 6.

Чтобы найти решение неравенства в прямоугольной системе координат $xOy$, нужно выполнить следующие шаги:
1. Заменить знак неравенства на знак равенства и построить график получившегося уравнения. Этот график (линия, кривая) является границей искомой области.
2. Если неравенство строгое (знаки $>$ или $<$), то граница рисуется пунктирной линией. Это означает, что точки на самой границе не входят в решение.
3. Если неравенство нестрогое (знаки $\ge$ или $\le$), то граница рисуется сплошной линией. Точки на границе входят в решение.
4. Граница делит всю координатную плоскость на две или более области. Чтобы определить, какая из областей является решением, нужно взять произвольную "пробную" точку, не лежащую на границе (часто удобно использовать начало координат $(0, 0)$, если оно не лежит на границе).
5. Подставить координаты пробной точки в исходное неравенство. Если получается верное числовое неравенство, то решением является та область, в которой лежит пробная точка. Если неверное — то решением является другая область.

а) $y > 2x - 3$

1. Строим граничную прямую $y = 2x - 3$. Это линейная функция, ее график — прямая. Для построения найдем две точки, например, точки пересечения с осями координат.
Если $x=0$, то $y = 2(0) - 3 = -3$. Точка $(0, -3)$.
Если $y=0$, то $0 = 2x - 3 \implies 2x = 3 \implies x = 1.5$. Точка $(1.5, 0)$.
2. Так как неравенство строгое ($>$), прямую рисуем пунктирной линией.
3. Возьмем пробную точку, не лежащую на прямой, например, начало координат $(0, 0)$.
4. Подставляем ее координаты в исходное неравенство: $0 > 2(0) - 3$, что дает $0 > -3$. Это верное неравенство.
5. Следовательно, решением является полуплоскость, содержащая начало координат, то есть область, расположенная выше пунктирной прямой $y = 2x - 3$.
Ответ: Решением является открытая полуплоскость, расположенная выше прямой $y = 2x - 3$.

б) $y \le 2x - 3$

1. Граничная прямая та же, что и в пункте а): $y = 2x - 3$.
2. Неравенство нестрогое ($\le$), поэтому прямую рисуем сплошной линией. Точки на прямой являются частью решения.
3. Используем ту же пробную точку $(0, 0)$.
4. Подставляем в неравенство: $0 \le 2(0) - 3$, что дает $0 \le -3$. Это неверное неравенство.
5. Значит, решением является полуплоскость, не содержащая начало координат, то есть область, расположенная ниже прямой $y = 2x - 3$, включая саму прямую.
Ответ: Решением является замкнутая полуплоскость, расположенная ниже прямой $y = 2x - 3$ и включающая эту прямую.

в) $y \ge x^2$

1. Строим граничную кривую $y = x^2$. Это парабола с вершиной в начале координат и ветвями, направленными вверх.
2. Неравенство нестрогое ($\ge$), поэтому параболу рисуем сплошной линией.
3. Начало координат $(0, 0)$ лежит на границе, поэтому его нельзя использовать как пробную точку. Возьмем другую точку, например, $(0, 1)$.
4. Подставляем ее координаты в неравенство: $1 \ge 0^2$, что дает $1 \ge 0$. Это верное неравенство.
5. Точка $(0, 1)$ находится внутри параболы. Следовательно, решением является область внутри параболы, включая саму параболу.
Ответ: Решением является множество точек, лежащих на параболе $y=x^2$ и внутри нее.

г) $y < \sqrt{x}$

1. Область определения функции $y = \sqrt{x}$ — это $x \ge 0$. Решение будет находиться в правой полуплоскости (включая ось $Oy$).
2. Строим граничную кривую $y = \sqrt{x}$. Это верхняя ветвь параболы $x = y^2$, выходящая из начала координат.
3. Неравенство строгое (<), поэтому кривую рисуем пунктирной линией.
4. Возьмем пробную точку из области определения, не лежащую на кривой, например, $(1, 0)$.
5. Подставляем в неравенство: $0 < \sqrt{1}$, что дает $0 < 1$. Это верное неравенство.
6. Точка $(1, 0)$ находится под кривой $y = \sqrt{x}$. Таким образом, решением является область под этой кривой при $x \ge 0$.
Ответ: Решением является область, расположенная в правой полуплоскости ($x \ge 0$) ниже кривой $y = \sqrt{x}$. Граница $y = \sqrt{x}$ не включается в решение.

д) $2x + 3y > 6$

1. Строим граничную прямую $2x + 3y = 6$. Для удобства можно выразить $y$: $3y = -2x + 6 \implies y = -\frac{2}{3}x + 2$.
Найдем точки пересечения с осями: если $x=0$, то $y=2$ (точка $(0, 2)$); если $y=0$, то $x=3$ (точка $(3, 0)$).
2. Неравенство строгое ($>$), поэтому прямую рисуем пунктирной линией.
3. Возьмем пробную точку $(0, 0)$.
4. Подставляем в исходное неравенство: $2(0) + 3(0) > 6$, что дает $0 > 6$. Это неверное неравенство.
5. Следовательно, решением является полуплоскость, не содержащая начало координат, то есть область выше пунктирной прямой.
Ответ: Решением является открытая полуплоскость, расположенная выше прямой $y = -\frac{2}{3}x + 2$.

е) $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 \le 4$

1. Строим граничную кривую $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4$. Это уравнение окружности с центром в точке $(1, 2)$ и радиусом $r = \sqrt{4} = 2$.
2. Неравенство нестрогое ($\le$), поэтому окружность рисуем сплошной линией.
3. В качестве пробной точки удобно взять центр окружности $(1, 2)$.
4. Подставляем координаты центра в неравенство: $(1 - 1)^2 + (2 - 2)^2 \le 4$, что дает $0^2 + 0^2 \le 4$ или $0 \le 4$. Это верное неравенство.
5. Значит, решением являются все точки, лежащие внутри окружности, а также на самой окружности.
Ответ: Решением является круг с центром в точке $(1, 2)$ и радиусом $2$, включая его границу (окружность).