Номер 8, страница 423, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §57. ч. 1 - номер 8, страница 423.

8. Что называют системой неравенств с одной переменной? Что называют частным решением системы неравенств? Что называют общим решением (или просто решением) системы неравенств?

Что называют системой неравенств с одной переменной?

Системой неравенств с одной переменной называют два или более неравенства, которые содержат одну и ту же переменную и должны выполняться одновременно. Задача состоит в том, чтобы найти все значения переменной, которые являются решением каждого из неравенств системы. Системы неравенств принято записывать с помощью фигурной скобки, которая означает логическое "и".

Общий вид системы неравенств с переменной $x$ может быть таким: $$ \begin{cases} f_1(x) > 0 \\ f_2(x) < 0 \\ ... \\ f_n(x) \ge 0 \end{cases} $$ Здесь требуется найти все такие значения $x$, которые одновременно удовлетворяют всем $n$ неравенствам.

Ответ: Системой неравенств с одной переменной называют совокупность нескольких неравенств с одной и той же переменной, для которых нужно найти общие решения, то есть значения переменной, удовлетворяющие каждому из неравенств.

Что называют частным решением системы неравенств?

Частным решением системы неравенств называется любое конкретное значение переменной, при подстановке которого в каждое из неравенств системы получается верное числовое неравенство. Иными словами, это одно число из множества всех возможных решений.

Например, рассмотрим систему: $$ \begin{cases} x > 5 \\ x \le 10 \end{cases} $$ Значение $x=7$ является частным решением этой системы, так как оба неравенства при этом значении становятся верными: $7 > 5$ (истинно) и $7 \le 10$ (истинно). В то же время, значение $x=4$ не является решением, так как оно не удовлетворяет первому неравенству ($4 > 5$ — ложно). Значение $x=11$ также не является решением, так как оно не удовлетворяет второму неравенству ($11 \le 10$ — ложно).

Ответ: Частным решением системы неравенств является одно конкретное значение переменной, которое обращает каждое неравенство системы в верное числовое высказывание.

Что называют общим решением (или просто решением) системы неравенств?

Общим решением (или просто решением) системы неравенств называется множество всех её частных решений. Решить систему неравенств — это значит найти все её решения или доказать, что их нет. Чаще всего решение представляет собой числовой промежуток (интервал, отрезок, луч) или объединение нескольких таких промежутков.

Алгоритм нахождения общего решения системы неравенств:

1. Решить каждое неравенство системы по отдельности, определив для каждого множество его решений.
2. Найти пересечение (общую часть) множеств решений, найденных на первом шаге. Полученное пересечение и является общим решением системы неравенств.

Для системы из предыдущего примера: $$ \begin{cases} x > 5 \\ x \le 10 \end{cases} $$ Решением первого неравенства является числовой промежуток $x \in (5, +\infty)$. Решением второго неравенства является промежуток $x \in (-\infty, 10]$. Общим решением системы будет пересечение этих двух множеств: $(5, +\infty) \cap (-\infty, 10] = (5, 10]$. Это и есть общее решение, которое представляет собой полуинтервал.

Ответ: Общим решением системы неравенств называется множество всех значений переменной, которые удовлетворяют одновременно всем неравенствам, входящим в систему.