Номер 4, страница 423, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §57. ч. 1 - номер 4, страница 423.

4. Даны два неравенства: $f(x) > g(x)$ и $p(x) < h(x)$. Известно, что каждое из них является следствием другого. Можно ли назвать эти неравенства равносильными?

Давайте проанализируем условие задачи, используя определения равносильности и следствия для неравенств.

Два неравенства называются равносильными, если множества их решений полностью совпадают.

Неравенство (А) называется следствием неравенства (Б), если любое решение неравенства (Б) также является решением неравенства (А). Иными словами, множество решений неравенства (Б) является подмножеством множества решений неравенства (А).

Обозначим первое неравенство $f(x) > g(x)$ как Неравенство 1, а второе неравенство $p(x) < h(x)$ как Неравенство 2. Пусть $S_1$ — множество решений Неравенства 1, а $S_2$ — множество решений Неравенства 2.

В задаче дано, что каждое из них является следствием другого. Рассмотрим это условие по частям:

1. Неравенство $f(x) > g(x)$ является следствием неравенства $p(x) < h(x)$.
Это означает, что любое решение Неравенства 2 является решением Неравенства 1. С точки зрения множеств решений, это записывается как $S_2 \subseteq S_1$.

2. Неравенство $p(x) < h(x)$ является следствием неравенства $f(x) > g(x)$.
Это означает, что любое решение Неравенства 1 является решением Неравенства 2. С точки зрения множеств решений, это записывается как $S_1 \subseteq S_2$.

Таким образом, мы имеем два условия одновременно: $S_1 \subseteq S_2$ и $S_2 \subseteq S_1$.

Из аксиом теории множеств следует, что если одно множество является подмножеством второго, а второе — подмножеством первого, то эти множества равны. Следовательно, $S_1 = S_2$.

Поскольку множества решений $S_1$ и $S_2$ данных неравенств равны, то по определению эти неравенства являются равносильными.

Ответ: Да, эти неравенства можно назвать равносильными. Условие, что каждое из двух неравенств является следствием другого, является одним из определений равносильности.