Номер 9, страница 423, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §57. ч. 1 - номер 9, страница 423.

9. Что называют совокупностью неравенств с одной переменной? Что называют частным решением совокупности неравенств? Что называют общим решением (или просто решением) совокупности неравенств?

Что называют совокупностью неравенств с одной переменной?

Если даны несколько неравенств с одной переменной и ставится задача найти все значения переменной, удовлетворяющие хотя бы одному из этих неравенств, то говорят, что задана совокупность неравенств.

Это означает, что мы ищем значения переменной, которые являются решением первого неравенства, или второго неравенства, или третьего, и так далее. Иными словами, мы объединяем множества решений всех неравенств, входящих в совокупность.

Совокупность неравенств принято обозначать с помощью квадратной скобки. Например, совокупность двух неравенств $f(x) > 0$ и $g(x) < 0$ записывается так:

$ \left[ \begin{aligned} &f(x) > 0, \\ &g(x) < 0. \end{aligned} \right. $

Ответ: Совокупностью неравенств с одной переменной называют несколько неравенств, для которых нужно найти все значения переменной, удовлетворяющие хотя бы одному из них.

Что называют частным решением совокупности неравенств?

Частным решением совокупности неравенств с одной переменной называют любое конкретное значение переменной, при подстановке которого хотя бы одно из неравенств совокупности обращается в верное числовое неравенство.

Например, рассмотрим совокупность:

$ \left[ \begin{aligned} &x > 10, \\ &x < 0. \end{aligned} \right. $

Значение $x = 12$ является частным решением этой совокупности, так как оно удовлетворяет первому неравенству ($12 > 10$ — верно). Значение $x = -5$ также является частным решением, так как оно удовлетворяет второму неравенству ($-5 < 0$ — верно). А вот значение $x = 5$ не является частным решением, так как оно не удовлетворяет ни одному из неравенств ($5 > 10$ — ложно, $5 < 0$ — ложно).

Ответ: Частным решением совокупности неравенств называют любое значение переменной, которое является решением хотя бы одного из неравенств данной совокупности.

Что называют общим решением (или просто решением) совокупности неравенств?

Общим решением (или просто решением) совокупности неравенств называют множество всех её частных решений.

Чтобы найти общее решение совокупности, нужно найти решения каждого неравенства в отдельности, а затем объединить полученные множества решений. Объединение множеств — это множество, содержащее все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из исходных множеств.

Вернемся к предыдущему примеру:

$ \left[ \begin{aligned} &x > 10, \\ &x < 0. \end{aligned} \right. $

Решением первого неравенства является промежуток $(10; +\infty)$. Решением второго неравенства является промежуток $(-\infty; 0)$. Общим решением совокупности будет объединение этих двух промежутков: $(-\infty; 0) \cup (10; +\infty)$.

Ответ: Общим решением (или просто решением) совокупности неравенств называют множество всех значений переменной, при которых хотя бы одно из неравенств совокупности становится верным. Это множество является объединением множеств решений всех неравенств, входящих в совокупность.