Номер 5, страница 423, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §57. ч. 1 - номер 5, страница 423.

5. Что называют областью определения (областью допустимых значений переменной — ОДЗ) неравенства $f(x) > g(x)$?

Областью определения (или областью допустимых значений — ОДЗ) неравенства вида $f(x) > g(x)$ называют множество всех значений переменной $x$, при которых одновременно имеют смысл (то есть определены) и левая часть неравенства, выражение $f(x)$, и правая часть, выражение $g(x)$.

Пусть $D(f)$ — это область определения функции $y=f(x)$, а $D(g)$ — область определения функции $y=g(x)$. Тогда область определения (ОДЗ) неравенства $f(x) > g(x)$ является пересечением этих двух множеств:

$ОДЗ = D(f) \cap D(g)$

Это означает, что для нахождения ОДЗ неравенства необходимо найти все значения $x$, которые допустимы как для выражения $f(x)$, так и для выражения $g(x)$. Решение неравенства ищется только в пределах найденной ОДЗ.

Рассмотрим пример. Найдем ОДЗ неравенства $\ln(x-1) > \sqrt{5-x}$.

Для левой части $f(x) = \ln(x-1)$ выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным: $x-1 > 0$, то есть $x > 1$. Область определения $D(f) = (1, +\infty)$.

Для правой части $g(x) = \sqrt{5-x}$ выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $5-x \ge 0$, то есть $x \le 5$. Область определения $D(g) = (-\infty, 5]$.

ОДЗ всего неравенства есть пересечение этих двух условий, которое можно записать в виде системы неравенств: $ \begin{cases} x - 1 > 0 \\ 5 - x \ge 0 \end{cases} $ , что равносильно $ \begin{cases} x > 1 \\ x \le 5 \end{cases} $

Решением этой системы является полуинтервал $(1, 5]$. Это и есть область допустимых значений исходного неравенства.

Ответ: Областью определения (областью допустимых значений — ОДЗ) неравенства $f(x) > g(x)$ является пересечение областей определения выражений $f(x)$ и $g(x)$, то есть множество всех значений переменной $x$, при которых обе части неравенства имеют математический смысл.