Номер 3, страница 411, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §56. ч. 1 - номер 3, страница 411.

3. Опишите суть метода введения новой переменной при решении уравнения с одной переменной.

Метод введения новой переменной (или метод замены переменной) — это один из эффективных способов решения сложных уравнений с одной переменной. Суть метода заключается в том, чтобы упростить исходное уравнение путем замены некоторого повторяющегося в нем выражения новой, более простой переменной. Это позволяет свести сложное уравнение к более простому, стандартному виду (например, к квадратному или линейному), которое легко решается.

Алгоритм решения уравнения методом введения новой переменной состоит из следующих шагов:

1. Анализ уравнения и выбор замены. Внимательно изучают структуру уравнения и находят в нем повторяющееся выражение, которое можно заменить новой переменной. Обозначим это выражение как $g(x)$.
2. Введение новой переменной. Вводят новую переменную, например $t$, и приравнивают ее к выбранному выражению: $t = g(x)$. На этом этапе важно определить область допустимых значений для новой переменной $t$, если она есть (например, если $t = x^2$, то $t \ge 0$; если $t = \sqrt{x}$, то $t \ge 0$; если $t = a^x$, то $t > 0$).
3. Составление нового уравнения. Заменяют все вхождения выражения $g(x)$ в исходном уравнении на новую переменную $t$. В результате получают новое, как правило, более простое уравнение относительно $t$.
4. Решение нового уравнения. Решают полученное уравнение относительно переменной $t$. Находят все его корни $t_1, t_2, \dots, t_n$.
5. Отбор корней. Из найденных корней для $t$ отбирают только те, которые удовлетворяют ограничениям, найденным на шаге 2.
6. Обратная замена. Возвращаются к исходной переменной $x$. Для каждого подходящего корня $t_k$ решают уравнение $g(x) = t_k$.
7. Запись ответа. Корни, найденные на последнем шаге, и являются решениями исходного уравнения. При необходимости выполняется проверка найденных корней путем подстановки в исходное уравнение.

Пример:

Рассмотрим решение биквадратного уравнения: $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$.

1. Анализ и выбор замены. Уравнение можно переписать в виде $(x^2)^2 - 13(x^2) + 36 = 0$. Здесь повторяющимся выражением является $x^2$.

2. Введение новой переменной. Пусть $t = x^2$. Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, то для новой переменной $t$ должно выполняться условие $t \ge 0$.

3. Составление нового уравнения. После замены получаем квадратное уравнение относительно $t$:
$t^2 - 13t + 36 = 0$.

4. Решение нового уравнения. Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 13, а их произведение равно 36. Легко подобрать корни: $t_1 = 4$ и $t_2 = 9$.

5. Отбор корней. Оба корня, $t_1 = 4$ и $t_2 = 9$, удовлетворяют условию $t \ge 0$.

6. Обратная замена. Теперь вернемся к переменной $x$:

• Для $t_1 = 4$:
  $x^2 = 4$
  $x_{1,2} = \pm\sqrt{4} = \pm2$.
• Для $t_2 = 9$:
  $x^2 = 9$
  $x_{3,4} = \pm\sqrt{9} = \pm3$.

7. Запись ответа. Мы получили четыре корня для исходного уравнения: $-3, -2, 2, 3$.

Таким образом, сложная на вид задача была сведена к последовательному решению двух простых задач: сначала квадратного уравнения для $t$, а затем двух простейших уравнений вида $x^2 = a$ для $x$.

Ответ: Суть метода введения новой переменной состоит в замене некоторого повторяющегося в уравнении выражения $g(x)$ на новую переменную (например, $t$), что приводит к упрощению исходного уравнения. После нахождения значений новой переменной $t$ выполняют обратную замену (решают уравнения вида $g(x) = t$) для нахождения корней исходного уравнения относительно переменной $x$.