Страница 411, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

3. Опишите суть метода введения новой переменной при решении уравнения с одной переменной.

Метод введения новой переменной (или метод замены переменной) — это один из эффективных способов решения сложных уравнений с одной переменной. Суть метода заключается в том, чтобы упростить исходное уравнение путем замены некоторого повторяющегося в нем выражения новой, более простой переменной. Это позволяет свести сложное уравнение к более простому, стандартному виду (например, к квадратному или линейному), которое легко решается.

Алгоритм решения уравнения методом введения новой переменной состоит из следующих шагов:

1. Анализ уравнения и выбор замены. Внимательно изучают структуру уравнения и находят в нем повторяющееся выражение, которое можно заменить новой переменной. Обозначим это выражение как $g(x)$.
2. Введение новой переменной. Вводят новую переменную, например $t$, и приравнивают ее к выбранному выражению: $t = g(x)$. На этом этапе важно определить область допустимых значений для новой переменной $t$, если она есть (например, если $t = x^2$, то $t \ge 0$; если $t = \sqrt{x}$, то $t \ge 0$; если $t = a^x$, то $t > 0$).
3. Составление нового уравнения. Заменяют все вхождения выражения $g(x)$ в исходном уравнении на новую переменную $t$. В результате получают новое, как правило, более простое уравнение относительно $t$.
4. Решение нового уравнения. Решают полученное уравнение относительно переменной $t$. Находят все его корни $t_1, t_2, \dots, t_n$.
5. Отбор корней. Из найденных корней для $t$ отбирают только те, которые удовлетворяют ограничениям, найденным на шаге 2.
6. Обратная замена. Возвращаются к исходной переменной $x$. Для каждого подходящего корня $t_k$ решают уравнение $g(x) = t_k$.
7. Запись ответа. Корни, найденные на последнем шаге, и являются решениями исходного уравнения. При необходимости выполняется проверка найденных корней путем подстановки в исходное уравнение.

Пример:

Рассмотрим решение биквадратного уравнения: $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$.

1. Анализ и выбор замены. Уравнение можно переписать в виде $(x^2)^2 - 13(x^2) + 36 = 0$. Здесь повторяющимся выражением является $x^2$.

2. Введение новой переменной. Пусть $t = x^2$. Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, то для новой переменной $t$ должно выполняться условие $t \ge 0$.

3. Составление нового уравнения. После замены получаем квадратное уравнение относительно $t$:
$t^2 - 13t + 36 = 0$.

4. Решение нового уравнения. Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 13, а их произведение равно 36. Легко подобрать корни: $t_1 = 4$ и $t_2 = 9$.

5. Отбор корней. Оба корня, $t_1 = 4$ и $t_2 = 9$, удовлетворяют условию $t \ge 0$.

6. Обратная замена. Теперь вернемся к переменной $x$:

• Для $t_1 = 4$:
  $x^2 = 4$
  $x_{1,2} = \pm\sqrt{4} = \pm2$.
• Для $t_2 = 9$:
  $x^2 = 9$
  $x_{3,4} = \pm\sqrt{9} = \pm3$.

7. Запись ответа. Мы получили четыре корня для исходного уравнения: $-3, -2, 2, 3$.

Таким образом, сложная на вид задача была сведена к последовательному решению двух простых задач: сначала квадратного уравнения для $t$, а затем двух простейших уравнений вида $x^2 = a$ для $x$.

Ответ: Суть метода введения новой переменной состоит в замене некоторого повторяющегося в уравнении выражения $g(x)$ на новую переменную (например, $t$), что приводит к упрощению исходного уравнения. После нахождения значений новой переменной $t$ выполняют обратную замену (решают уравнения вида $g(x) = t$) для нахождения корней исходного уравнения относительно переменной $x$.

4. Как можно использовать графики функций для решения уравнения с одной переменной?

Для решения уравнения с одной переменной можно использовать графический метод. Этот метод позволяет визуализировать уравнение, определить количество его действительных корней и найти их приближенные (а в некоторых случаях и точные) значения. Суть метода заключается в том, чтобы свести решение алгебраического уравнения к геометрической задаче по нахождению координат точек пересечения графиков.

Существует два основных подхода к реализации этого метода.

Первый подход основан на представлении исходного уравнения в виде равенства двух функций: $f(x) = g(x)$. Для этого может потребоваться перенести некоторые члены уравнения из одной части в другую. Затем необходимо выполнить следующие шаги:

1. Построить в одной декартовой системе координат графики функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$.
2. Найти все точки пересечения этих графиков.
3. Абсциссы (координаты $x$) найденных точек пересечения и будут являться решениями (корнями) исходного уравнения. Если графики не имеют точек пересечения, то уравнение не имеет действительных корней.

Например, чтобы решить уравнение $x^3 = x + 6$, нужно построить графики кубической параболы $y=x^3$ и прямой $y=x+6$. Абсцисса их единственной точки пересечения $x=2$ и будет корнем данного уравнения.

Второй подход является частным случаем первого и применяется к уравнениям, приведенным к виду $F(x) = 0$. В этом случае левая часть уравнения рассматривается как функция $y = F(x)$, а правая — как функция $y = 0$, графиком которой является ось абсцисс ($Ox$). Алгоритм в этом случае таков:

1. Перенести все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить вид $F(x) = 0$.
2. Построить график функции $y = F(x)$.
3. Найти точки пересечения этого графика с осью $Ox$.
4. Абсциссы этих точек (их еще называют нулями функции) и являются корнями уравнения.

Например, для решения уравнения $x^2 - x - 2 = 0$, строят график параболы $y = x^2 - x - 2$. Этот график пересекает ось $Ox$ в точках с абсциссами $x=-1$ и $x=2$, которые и являются решениями уравнения.

Ответ: Для графического решения уравнения с одной переменной его нужно представить в виде $f(x)=g(x)$, построить графики функций $y=f(x)$ и $y=g(x)$, а затем найти абсциссы точек их пересечения. Эти абсциссы и будут корнями уравнения. Альтернативно, можно привести уравнение к виду $F(x)=0$, построить график функции $y=F(x)$ и найти абсциссы точек его пересечения с осью $Ox$.

5. Как можно использовать свойства функций для решения уравнения с одной переменной?

Решение уравнений с одной переменной не всегда сводится к стандартным алгебраическим преобразованиям. Во многих случаях, особенно когда в уравнение входят трансцендентные функции (тригонометрические, показательные, логарифмические), стандартные методы оказываются неэффективными. В таких ситуациях на помощь приходит функциональный подход, который заключается в исследовании свойств функций, входящих в левую и правую части уравнения.

Рассмотрим основные свойства функций и методы их применения для решения уравнений вида $f(x) = g(x)$ или $F(x) = 0$.

1. Использование области определения функции (ОДЗ)

Первым шагом при решении практически любого уравнения является нахождение его области допустимых значений (ОДЗ) — множества всех значений переменной, при которых обе части уравнения имеют смысл. Иногда анализ ОДЗ позволяет сразу найти решение или доказать его отсутствие.

Пример. Решить уравнение $\sqrt{x - 3} + \log_2(1 - x) = 10$.

Решение. Найдем ОДЗ данного уравнения. Она определяется системой неравенств:

$\begin{cases} x - 3 \ge 0 \\ 1 - x > 0 \end{cases}$

Из первого неравенства получаем $x \ge 3$. Из второго неравенства получаем $x < 1$.

$\begin{cases} x \ge 3 \\ x < 1 \end{cases}$

Данная система не имеет решений, так как нет числа, которое было бы одновременно больше или равно 3 и меньше 1. Следовательно, область допустимых значений уравнения является пустым множеством. Это означает, что уравнение не имеет корней.

Ответ: Анализ области определения функций в уравнении показал, что она является пустым множеством, следовательно, уравнение не имеет решений.

2. Использование ограниченности и области значений функций

Этот метод основан на оценке множества значений, которые могут принимать функции в левой и правой частях уравнения. Пусть дано уравнение $f(x) = g(x)$.

• Если на всей ОДЗ выполняется $f(x) > A$ и $g(x) < A$ для некоторого числа $A$, то уравнение не имеет решений.
• Если на ОДЗ выполняются неравенства $f(x) \ge A$ и $g(x) \le A$, то решения могут существовать только при условии одновременного выполнения равенств $f(x) = A$ и $g(x) = A$.

Пример. Решить уравнение $\cos(2x) = x^2 + 1$.

Решение. Оценим левую и правую части уравнения. Пусть $f(x) = \cos(2x)$ и $g(x) = x^2 + 1$.

Область значений функции косинус — это отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, для любого $x$ выполняется неравенство $f(x) = \cos(2x) \le 1$.

Для функции $g(x) = x^2 + 1$, так как $x^2 \ge 0$ для любого $x$, то $x^2 + 1 \ge 1$. Следовательно, $g(x) \ge 1$.

Таким образом, равенство $f(x) = g(x)$ возможно только в том случае, когда обе части одновременно равны 1. Это приводит к системе уравнений:

$\begin{cases} \cos(2x) = 1 \\ x^2 + 1 = 1 \end{cases}$

Из второго уравнения находим $x^2 = 0$, откуда $x = 0$. Подставим это значение в первое уравнение, чтобы проверить, выполняется ли оно: $\cos(2 \cdot 0) = \cos(0) = 1$. Равенство верное. Значит, $x = 0$ является единственным решением системы и, следовательно, исходного уравнения.

Ответ: $x = 0$.

3. Использование монотонности функций

Монотонность (возрастание или убывание) функции является мощным инструментом для доказательства единственности корня.

• Если функция $F(x)$ является строго монотонной (строго возрастает или строго убывает) на некотором промежутке, то уравнение $F(x) = C$ (где $C$ — константа) может иметь на этом промежутке не более одного корня.
• Если в уравнении $f(x) = g(x)$ одна из функций строго возрастает, а другая строго убывает, то такое уравнение также может иметь не более одного корня.

Этот метод особенно эффективен, когда один корень легко угадывается подбором.

Пример. Решить уравнение $3^x + 4^x = 5^x$.

Решение. Очевидно, что $x=2$ является корнем уравнения, так как $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$ и $5^2 = 25$. Докажем, что других корней нет. Разделим обе части уравнения на $5^x$ (это возможно, так как $5^x > 0$ для любого $x$):

$(\frac{3}{5})^x + (\frac{4}{5})^x = 1$.

Рассмотрим функцию $f(x) = (\frac{3}{5})^x + (\frac{4}{5})^x$. Она представляет собой сумму двух показательных функций с основаниями, меньшими 1 ($0 < \frac{3}{5} < 1$ и $0 < \frac{4}{5} < 1$). Каждая из этих функций является строго убывающей на всей числовой прямой. Сумма двух строго убывающих функций также является строго убывающей функцией. Поскольку функция $f(x)$ строго убывает, она может принимать каждое свое значение (в том числе и значение 1) только один раз. Мы уже нашли, что $f(2) = 1$. Следовательно, $x=2$ — единственный корень уравнения.

Ответ: $x = 2$.

4. Использование четности и нечетности функций

Свойство четности может помочь упростить поиск решений.

• Если в уравнении $F(x) = 0$ функция $F(x)$ является четной (т.е. $F(-x) = F(x)$), то если $x_0$ — корень, то и $-x_0$ также является корнем. Это позволяет искать только неотрицательные корни, а затем добавлять к ним симметричные отрицательные.
• Если функция $F(x)$ является нечетной (т.е. $F(-x) = -F(x)$) и определена в точке $x=0$, то $x=0$ обязательно является корнем уравнения $F(x)=0$, так как $F(0) = -F(0) \Rightarrow 2F(0) = 0 \Rightarrow F(0) = 0$.

Пример. Решить уравнение $x^6 - \cos(3x) = 0$.

Решение. Рассмотрим функцию $F(x) = x^6 - \cos(3x)$. Проверим ее на четность: $F(-x) = (-x)^6 - \cos(3(-x)) = x^6 - \cos(-3x) = x^6 - \cos(3x) = F(x)$. Функция $F(x)$ является четной. Это означает, что если $x_0$ является корнем, то и $-x_0$ тоже корень. Заметим, что $x=0$ не является корнем, так как $0^6 - \cos(0) = -1 \neq 0$. Рассмотрим уравнение на промежутке $x > 0$. Пусть мы нашли (например, графически или численно) корень $x_0 > 0$. Тогда, в силу четности, $-x_0$ также будет являться корнем. Это позволяет утверждать, что уравнение имеет как минимум два корня, симметричных относительно нуля, если имеет хотя бы один ненулевой корень.

Ответ: Свойство четности функции $F(x) = x^6 - \cos(3x)$ гарантирует, что если $x_0$ является решением, то и $-x_0$ также является решением. Множество корней уравнения симметрично относительно нуля.

5. Использование периодичности функций

Если в уравнении присутствует периодическая функция, то, найдя одно решение, можно найти и бесконечную серию решений. Если $f(x)$ — периодическая функция с периодом $T$, то из того, что $x_0$ — корень уравнения $f(x)=c$, следует, что все числа вида $x_0 + nT$ ($n \in \mathbb{Z}$) также являются корнями.

Пример. Решить уравнение $2\sin^2(x) - \sin(x) - 1 = 0$.

Решение. Это квадратное уравнение относительно $\sin(x)$. Сделаем замену $t = \sin(x)$, где $|t| \le 1$.

$2t^2 - t - 1 = 0$.

Находим корни этого квадратного уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = -\frac{1}{2}$. Оба корня удовлетворяют условию $|t| \le 1$. Возвращаемся к исходной переменной:

1) $\sin(x) = 1$. Решения этого простейшего тригонометрического уравнения имеют вид $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $\sin(x) = -\frac{1}{2}$. Решения этого уравнения задаются формулой $x = (-1)^n \arcsin(-\frac{1}{2}) + \pi n = (-1)^n (-\frac{\pi}{6}) + \pi n = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Объединяя эти два семейства решений, получаем полный ответ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$; $x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.