Номер 5, страница 411, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §56. ч. 1 - номер 5, страница 411.

5. Как можно использовать свойства функций для решения уравнения с одной переменной?

Решение уравнений с одной переменной не всегда сводится к стандартным алгебраическим преобразованиям. Во многих случаях, особенно когда в уравнение входят трансцендентные функции (тригонометрические, показательные, логарифмические), стандартные методы оказываются неэффективными. В таких ситуациях на помощь приходит функциональный подход, который заключается в исследовании свойств функций, входящих в левую и правую части уравнения.

Рассмотрим основные свойства функций и методы их применения для решения уравнений вида $f(x) = g(x)$ или $F(x) = 0$.

1. Использование области определения функции (ОДЗ)

Первым шагом при решении практически любого уравнения является нахождение его области допустимых значений (ОДЗ) — множества всех значений переменной, при которых обе части уравнения имеют смысл. Иногда анализ ОДЗ позволяет сразу найти решение или доказать его отсутствие.

Пример. Решить уравнение $\sqrt{x - 3} + \log_2(1 - x) = 10$.

Решение. Найдем ОДЗ данного уравнения. Она определяется системой неравенств:

$\begin{cases} x - 3 \ge 0 \\ 1 - x > 0 \end{cases}$

Из первого неравенства получаем $x \ge 3$. Из второго неравенства получаем $x < 1$.

$\begin{cases} x \ge 3 \\ x < 1 \end{cases}$

Данная система не имеет решений, так как нет числа, которое было бы одновременно больше или равно 3 и меньше 1. Следовательно, область допустимых значений уравнения является пустым множеством. Это означает, что уравнение не имеет корней.

Ответ: Анализ области определения функций в уравнении показал, что она является пустым множеством, следовательно, уравнение не имеет решений.

2. Использование ограниченности и области значений функций

Этот метод основан на оценке множества значений, которые могут принимать функции в левой и правой частях уравнения. Пусть дано уравнение $f(x) = g(x)$.

• Если на всей ОДЗ выполняется $f(x) > A$ и $g(x) < A$ для некоторого числа $A$, то уравнение не имеет решений.
• Если на ОДЗ выполняются неравенства $f(x) \ge A$ и $g(x) \le A$, то решения могут существовать только при условии одновременного выполнения равенств $f(x) = A$ и $g(x) = A$.

Пример. Решить уравнение $\cos(2x) = x^2 + 1$.

Решение. Оценим левую и правую части уравнения. Пусть $f(x) = \cos(2x)$ и $g(x) = x^2 + 1$.

Область значений функции косинус — это отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, для любого $x$ выполняется неравенство $f(x) = \cos(2x) \le 1$.

Для функции $g(x) = x^2 + 1$, так как $x^2 \ge 0$ для любого $x$, то $x^2 + 1 \ge 1$. Следовательно, $g(x) \ge 1$.

Таким образом, равенство $f(x) = g(x)$ возможно только в том случае, когда обе части одновременно равны 1. Это приводит к системе уравнений:

$\begin{cases} \cos(2x) = 1 \\ x^2 + 1 = 1 \end{cases}$

Из второго уравнения находим $x^2 = 0$, откуда $x = 0$. Подставим это значение в первое уравнение, чтобы проверить, выполняется ли оно: $\cos(2 \cdot 0) = \cos(0) = 1$. Равенство верное. Значит, $x = 0$ является единственным решением системы и, следовательно, исходного уравнения.

Ответ: $x = 0$.

3. Использование монотонности функций

Монотонность (возрастание или убывание) функции является мощным инструментом для доказательства единственности корня.

• Если функция $F(x)$ является строго монотонной (строго возрастает или строго убывает) на некотором промежутке, то уравнение $F(x) = C$ (где $C$ — константа) может иметь на этом промежутке не более одного корня.
• Если в уравнении $f(x) = g(x)$ одна из функций строго возрастает, а другая строго убывает, то такое уравнение также может иметь не более одного корня.

Этот метод особенно эффективен, когда один корень легко угадывается подбором.

Пример. Решить уравнение $3^x + 4^x = 5^x$.

Решение. Очевидно, что $x=2$ является корнем уравнения, так как $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$ и $5^2 = 25$. Докажем, что других корней нет. Разделим обе части уравнения на $5^x$ (это возможно, так как $5^x > 0$ для любого $x$):

$(\frac{3}{5})^x + (\frac{4}{5})^x = 1$.

Рассмотрим функцию $f(x) = (\frac{3}{5})^x + (\frac{4}{5})^x$. Она представляет собой сумму двух показательных функций с основаниями, меньшими 1 ($0 < \frac{3}{5} < 1$ и $0 < \frac{4}{5} < 1$). Каждая из этих функций является строго убывающей на всей числовой прямой. Сумма двух строго убывающих функций также является строго убывающей функцией. Поскольку функция $f(x)$ строго убывает, она может принимать каждое свое значение (в том числе и значение 1) только один раз. Мы уже нашли, что $f(2) = 1$. Следовательно, $x=2$ — единственный корень уравнения.

Ответ: $x = 2$.

4. Использование четности и нечетности функций

Свойство четности может помочь упростить поиск решений.

• Если в уравнении $F(x) = 0$ функция $F(x)$ является четной (т.е. $F(-x) = F(x)$), то если $x_0$ — корень, то и $-x_0$ также является корнем. Это позволяет искать только неотрицательные корни, а затем добавлять к ним симметричные отрицательные.
• Если функция $F(x)$ является нечетной (т.е. $F(-x) = -F(x)$) и определена в точке $x=0$, то $x=0$ обязательно является корнем уравнения $F(x)=0$, так как $F(0) = -F(0) \Rightarrow 2F(0) = 0 \Rightarrow F(0) = 0$.

Пример. Решить уравнение $x^6 - \cos(3x) = 0$.

Решение. Рассмотрим функцию $F(x) = x^6 - \cos(3x)$. Проверим ее на четность: $F(-x) = (-x)^6 - \cos(3(-x)) = x^6 - \cos(-3x) = x^6 - \cos(3x) = F(x)$. Функция $F(x)$ является четной. Это означает, что если $x_0$ является корнем, то и $-x_0$ тоже корень. Заметим, что $x=0$ не является корнем, так как $0^6 - \cos(0) = -1 \neq 0$. Рассмотрим уравнение на промежутке $x > 0$. Пусть мы нашли (например, графически или численно) корень $x_0 > 0$. Тогда, в силу четности, $-x_0$ также будет являться корнем. Это позволяет утверждать, что уравнение имеет как минимум два корня, симметричных относительно нуля, если имеет хотя бы один ненулевой корень.

Ответ: Свойство четности функции $F(x) = x^6 - \cos(3x)$ гарантирует, что если $x_0$ является решением, то и $-x_0$ также является решением. Множество корней уравнения симметрично относительно нуля.

5. Использование периодичности функций

Если в уравнении присутствует периодическая функция, то, найдя одно решение, можно найти и бесконечную серию решений. Если $f(x)$ — периодическая функция с периодом $T$, то из того, что $x_0$ — корень уравнения $f(x)=c$, следует, что все числа вида $x_0 + nT$ ($n \in \mathbb{Z}$) также являются корнями.

Пример. Решить уравнение $2\sin^2(x) - \sin(x) - 1 = 0$.

Решение. Это квадратное уравнение относительно $\sin(x)$. Сделаем замену $t = \sin(x)$, где $|t| \le 1$.

$2t^2 - t - 1 = 0$.

Находим корни этого квадратного уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = -\frac{1}{2}$. Оба корня удовлетворяют условию $|t| \le 1$. Возвращаемся к исходной переменной:

1) $\sin(x) = 1$. Решения этого простейшего тригонометрического уравнения имеют вид $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $\sin(x) = -\frac{1}{2}$. Решения этого уравнения задаются формулой $x = (-1)^n \arcsin(-\frac{1}{2}) + \pi n = (-1)^n (-\frac{\pi}{6}) + \pi n = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Объединяя эти два семейства решений, получаем полный ответ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$; $x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.