Номер 11, страница 403, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §55 - номер 11, страница 403.

Условие.

11. Объясните, почему при переходе от уравнения $\log_a f(x) = \log_a g(x)$ к уравнению $f(x) = g(x)$ могут появиться посторонние корни.

Решение 6.

Переход от уравнения $ \log_a f(x) = \log_a g(x) $ к уравнению $ f(x) = g(x) $ является не равносильным преобразованием, а преобразованием-следствием. Это означает, что все корни исходного уравнения являются корнями второго уравнения, но не все корни второго уравнения обязаны быть корнями исходного. Причина этого кроется в изменении области допустимых значений (ОДЗ).

1. ОДЗ исходного уравнения $ \log_a f(x) = \log_a g(x) $.
Логарифмическая функция определена только для положительных аргументов. Поэтому для существования решений этого уравнения необходимо одновременное выполнение двух условий:

• $ f(x) > 0 $
• $ g(x) > 0 $

Таким образом, ОДЗ исходного уравнения — это все значения $ x $, при которых оба выражения под логарифмами строго положительны.

2. ОДЗ уравнения-следствия $ f(x) = g(x) $.
Это уравнение не содержит логарифмов, и его ОДЗ определяется только областями определения самих функций $ f(x) $ и $ g(x) $. В общем случае, эта область шире, чем ОДЗ исходного логарифмического уравнения.

Почему появляются посторонние корни?
Когда мы переходим от логарифмического уравнения к уравнению $ f(x) = g(x) $, мы фактически отбрасываем ограничения $ f(x) > 0 $ и $ g(x) > 0 $. В результате уравнение $ f(x) = g(x) $ может иметь такие корни $ x_0 $, при которых $ f(x_0) = g(x_0) $, но при этом значение $ f(x_0) $ (а следовательно, и $ g(x_0) $) является отрицательным или равным нулю. Для таких корней $ x_0 $ выражения $ \log_a f(x_0) $ и $ \log_a g(x_0) $ не имеют смысла, поскольку логарифм от неположительного числа не определен. Такие корни и называются посторонними для исходного уравнения.

Пример:
Рассмотрим уравнение $ \log_2 (x^2 - 4) = \log_2 (3x) $.
Его ОДЗ определяется системой неравенств: $ \begin{cases} x^2 - 4 > 0 \\ 3x > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} (x-2)(x+2) > 0 \\ x > 0 \end{cases} \Rightarrow x > 2 $.

Перейдем к уравнению-следствию: $ x^2 - 4 = 3x $
$ x^2 - 3x - 4 = 0 $
По теореме Виета, корни этого квадратного уравнения: $ x_1 = 4 $ и $ x_2 = -1 $.

Теперь проверим эти корни на соответствие ОДЗ ($ x > 2 $):

• $ x_1 = 4 $. Этот корень удовлетворяет условию $ 4 > 2 $, значит, это корень исходного уравнения.
• $ x_2 = -1 $. Этот корень не удовлетворяет условию $ -1 > 2 $. Это посторонний корень.

Если подставить $ x = -1 $ в выражения под логарифмами, получим $ x^2 - 4 = (-1)^2 - 4 = -3 $ и $ 3x = 3(-1) = -3 $. Оба значения отрицательны, поэтому $ \log_2(-3) $ не определен.

Ответ: При переходе от уравнения $ \log_a f(x) = \log_a g(x) $ к уравнению $ f(x) = g(x) $ происходит расширение области допустимых значений (ОДЗ). Уравнение-следствие $ f(x) = g(x) $ может иметь корни, при которых значения $ f(x) $ и $ g(x) $ равны, но при этом являются отрицательными или равными нулю. Для таких корней исходные логарифмические выражения теряют смысл, поэтому эти корни являются посторонними для первоначального уравнения.