Номер 7, страница 403, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §55. ч. 1 - номер 7, страница 403.

7. Какие вы знаете равносильные преобразования уравнения?

Равносильные (или эквивалентные) преобразования уравнения — это такие преобразования, которые заменяют данное уравнение другим уравнением, имеющим в точности то же множество корней. Кроме того, если исходное уравнение не имеет корней, то и новое уравнение не должно их иметь.

Основные виды равносильных преобразований:

• Перенос слагаемых из одной части уравнения в другую

  Любой член уравнения можно перенести из одной его части в другую, изменив его знак на противоположный. Это преобразование следует из свойства равенств: если к обеим частям верного равенства прибавить (или вычесть) одно и то же число или выражение, имеющее смысл при всех допустимых значениях переменной, то получится верное равенство.

  Например, уравнение $2x + 5 = 10$ равносильно уравнению $2x = 10 - 5$.

  В общем виде: $f(x) = g(x) + h(x) \Leftrightarrow f(x) - h(x) = g(x)$.

  Ответ: Перенос любого слагаемого из одной части уравнения в другую с изменением его знака на противоположный является равносильным преобразованием.

• Умножение или деление обеих частей уравнения на ненулевое выражение

  Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.

  Например, уравнение $\frac{1}{2}x = 3$ равносильно уравнению $x = 3 \cdot 2$, то есть $x=6$.

  Также можно умножать или делить обе части уравнения на выражение $h(x)$, но только при условии, что это выражение определено для всех допустимых значений переменной $x$ и нигде в этой области не обращается в ноль ($h(x) \neq 0$). Если же выражение $h(x)$ может равняться нулю, то умножение на него может привести к появлению посторонних корней, а деление — к потере корней, и такие преобразования не будут равносильными.

  В общем виде: если выражение $h(x) \neq 0$ на области допустимых значений уравнения, то $f(x) = g(x) \Leftrightarrow f(x) \cdot h(x) = g(x) \cdot h(x)$.

  Ответ: Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же отличное от нуля число или на выражение, которое не обращается в ноль на области допустимых значений уравнения, является равносильным преобразованием.

• Тождественные преобразования выражений в частях уравнения

  Замена любого выражения в левой или правой части уравнения на тождественно равное ему выражение, не изменяющая область допустимых значений (ОДЗ) уравнения. К таким преобразованиям относятся: раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых, использование формул сокращенного умножения, основных тригонометрических тождеств и т.д.

  Например, уравнение $(x+3)^2 = 10$ равносильно уравнению $x^2 + 6x + 9 = 10$.

  Важно следить, чтобы преобразование не приводило к изменению ОДЗ. Например, замена $\log_2(x^2)$ на $2\log_2(x)$ не является равносильным преобразованием, так как ОДЗ первого выражения $x \neq 0$, а второго $x > 0$. Правильным равносильным преобразованием будет $\log_2(x^2) = 2\log_2|x|$.

  Ответ: Выполнение тождественных преобразований (упрощение выражений, раскрытие скобок и т.д.) в любой из частей уравнения, не изменяющих его ОДЗ, является равносильным преобразованием.

• Применение строго монотонной функции к обеим частям уравнения

  Если к обеим частям уравнения $f(x) = g(x)$ применить одну и ту же строго монотонную функцию $\phi(t)$ (т.е. функцию, которая на всей своей области определения только возрастает или только убывает), то полученное уравнение $\phi(f(x)) = \phi(g(x))$ будет равносильно исходному. Важно, чтобы обе части уравнения, $f(x)$ и $g(x)$, принадлежали области определения функции $\phi(t)$.

  Примеры таких преобразований:

  • Возведение в нечетную степень: $f(x) = g(x) \Leftrightarrow (f(x))^{2k+1} = (g(x))^{2k+1}$ для любого целого $k \ge 0$.
  • Логарифмирование по одному и тому же основанию (при условии, что обе части уравнения положительны): если $f(x)>0$ и $g(x)>0$, то $f(x) = g(x) \Leftrightarrow \log_a(f(x)) = \log_a(g(x))$ для $a>0, a \neq 1$.

  Преобразования, которые не являются равносильными в общем случае, — это применение немонотонных функций, например, возведение в четную степень. Уравнение $x=3$ имеет один корень, а уравнение $x^2=9$ — два корня ($x=3$ и $x=-3$), поэтому они не равносильны.

  Ответ: Применение строго монотонной функции к обеим частям уравнения является равносильным преобразованием при условии, что обе части уравнения входят в область определения этой функции.