Страница 403, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

4. Даны два уравнения: $f(x) = g(x)$ и $p(x) = h(x)$. Известно, что каждое из них является следствием другого. Можно ли назвать эти уравнения равносильными?

Для того чтобы ответить на поставленный вопрос, необходимо обратиться к строгим математическим определениям понятий «уравнение-следствие» и «равносильные уравнения».

Пусть даны два уравнения: уравнение $f(x) = g(x)$ и уравнение $p(x) = h(x)$. Обозначим множество всех корней (решений) первого уравнения как $M_1$, а множество всех корней второго уравнения как $M_2$.

Уравнение $p(x) = h(x)$ называется следствием уравнения $f(x) = g(x)$, если любой корень уравнения $f(x) = g(x)$ также является корнем уравнения $p(x) = h(x)$. Это означает, что множество корней $M_1$ является подмножеством множества корней $M_2$. Математически это записывается как $M_1 \subseteq M_2$.

Два уравнения называются равносильными (или эквивалентными), если множества их корней в точности совпадают. Математически это записывается как $M_1 = M_2$.

Теперь проанализируем условие задачи. В нём сказано, что каждое из уравнений является следствием другого. Это означает, что выполняются два условия одновременно:
1. Уравнение $p(x) = h(x)$ является следствием уравнения $f(x) = g(x)$. Исходя из определения, это означает, что $M_1 \subseteq M_2$.
2. Уравнение $f(x) = g(x)$ является следствием уравнения $p(x) = h(x)$. Исходя из определения, это означает, что $M_2 \subseteq M_1$.

В теории множеств известно, что если множество $A$ является подмножеством множества $B$ (что записывается как $A \subseteq B$) и одновременно множество $B$ является подмножеством множества $A$ (что записывается как $B \subseteq A$), то эти множества равны ($A = B$).

Применив это свойство к нашим множествам корней $M_1$ и $M_2$, мы получаем, что из одновременного выполнения условий $M_1 \subseteq M_2$ и $M_2 \subseteq M_1$ следует, что $M_1 = M_2$.

Поскольку мы пришли к выводу, что множества корней данных уравнений совпадают, то, по определению равносильности, эти уравнения являются равносильными.

Ответ: Да, можно назвать эти уравнения равносильными.

5. Опишите три основных этапа решения уравнения с одной переменной.

На этом этапе выполняются тождественные преобразования с целью приведения уравнения к более простому виду. Основная задача — сделать уравнение максимально лаконичным, раскрыв все скобки и сгруппировав однотипные члены. Ключевые действия:

• Раскрытие скобок, используя распределительный закон умножения. Например, в уравнении $3(x - 2) + 5 = 14$ раскрываем скобки и получаем $3x - 6 + 5 = 14$.
• Приведение подобных слагаемых в каждой части уравнения. В примере выше, $3x - 6 + 5 = 14$ упрощается до $3x - 1 = 14$.
• Избавление от знаменателей, если уравнение содержит дроби. Для этого обе части уравнения умножаются на наименьший общий знаменатель всех дробей. Например, для уравнения $\frac{x}{4} + \frac{1}{2} = \frac{3x}{4}$ наименьший общий знаменатель равен 4. Умножив на него, получим эквивалентное уравнение без дробей: $x + 2 = 3x$.

Ответ: В результате этого этапа исходное уравнение преобразуется в более простое эквивалентное уравнение, в котором отсутствуют скобки и дроби, а подобные слагаемые в каждой части приведены.

Цель этого этапа — собрать все слагаемые, содержащие переменную, в одной части уравнения (обычно в левой), а все числовые слагаемые (константы) — в другой (обычно в правой), чтобы в итоге получить уравнение вида $kx = m$.

• Перенос слагаемых. Используя свойства равенств, слагаемые переносятся из одной части уравнения в другую с изменением знака на противоположный. Это равносильно прибавлению или вычитанию одного и того же выражения из обеих частей уравнения.
  Например, в уравнении $3x - 1 = 14$ переносим константу $-1$ вправо: $3x = 14 + 1$, что дает $3x = 15$.
  В уравнении $x + 2 = 3x$ переносим слагаемое $x$ вправо, чтобы собрать все переменные вместе: $2 = 3x - x$, что дает $2 = 2x$.
• Нахождение переменной. Когда уравнение приведено к виду $kx=m$, где $k$ и $m$ — некоторые числа, для нахождения $x$ нужно разделить обе части уравнения на коэффициент $k$ (если $k \ne 0$).
  В уравнении $3x = 15$ делим обе части на 3 и получаем $x = \frac{15}{3}$, то есть $x = 5$.
  В уравнении $2 = 2x$ делим обе части на 2 и получаем $x = \frac{2}{2}$, то есть $x = 1$.

Ответ: На этом этапе находится корень (или корни) уравнения — значение переменной, которое является решением упрощенного уравнения.

Это заключительный и очень важный этап, который позволяет убедиться в правильности найденного решения и отсеять посторонние корни, которые могли появиться в процессе преобразований.

• Проверка подстановкой. Найденное значение переменной подставляется в самое исходное уравнение (до всех преобразований). Если в результате получается верное числовое равенство, то корень найден правильно.
  Проверим корень $x=5$ для исходного уравнения $3(x - 2) + 5 = 14$. Подставляем: $3(5 - 2) + 5 = 3(3) + 5 = 9 + 5 = 14$. Получаем верное равенство $14 = 14$. Корень верный.
• Проверка на соответствие области допустимых значений (ОДЗ). Это особенно важно для уравнений, где переменная находится в знаменателе дроби, под знаком корня или логарифма. Необходимо убедиться, что найденный корень не обращает знаменатель в ноль, не делает подкоренное выражение отрицательным и т.д. Если корень не входит в ОДЗ, он является посторонним и не включается в ответ.

Ответ: После успешной проверки найденное значение (или значения) переменной записывается как окончательный ответ к задаче.

6. Что называют областью определения (областью допустимых значений переменной — ОДЗ) уравнения $f(x) = g(x)$?

Областью определения уравнения вида $f(x) = g(x)$, или, как её чаще называют, областью допустимых значений (ОДЗ), называют множество всех таких значений переменной $x$, при которых обе функции — $f(x)$ (левая часть уравнения) и $g(x)$ (правая часть уравнения) — одновременно определены, то есть имеют смысл.

Каждая из функций, $f(x)$ и $g(x)$, имеет свою собственную область определения. Обозначим область определения функции $f(x)$ как $D(f)$, а область определения функции $g(x)$ как $D(g)$. Чтобы равенство $f(x) = g(x)$ было корректным, значение $x$ должно принадлежать как области определения $D(f)$, так и области определения $D(g)$ одновременно.

Следовательно, ОДЗ уравнения $f(x) = g(x)$ является пересечением областей определения функций $f(x)$ и $g(x)$. Математически это записывается так:
ОДЗ = $D(f) \cap D(g)$

Нахождение ОДЗ является важным шагом при решении многих типов уравнений (например, иррациональных, логарифмических, дробно-рациональных), так как корни, не входящие в ОДЗ, являются посторонними и должны быть исключены из ответа. Ограничения на переменную $x$ возникают в следующих основных случаях:
- Деление на выражение с переменной: если в уравнении есть дробь вида $\frac{A(x)}{B(x)}$, то её знаменатель не может быть равен нулю: $B(x) \neq 0$.
- Корень чётной степени: если есть выражение вида $\sqrt[2n]{A(x)}$ (например, квадратный корень), то подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $A(x) \geq 0$.
- Логарифмическая функция: для выражения $\log_a(A(x))$ аргумент должен быть строго положительным: $A(x) > 0$.
- Тригонометрические функции: например, у тангенса $\tan(A(x))$ аргумент не может быть равен $\frac{\pi}{2} + \pi k$, а у котангенса $\cot(A(x))$ — $\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Рассмотрим пример. Найдём ОДЗ для уравнения $\log_3(x+2) = \frac{1}{\sqrt{4-x}}$.
1. Левая часть $f(x) = \log_3(x+2)$ определена, когда аргумент логарифма строго больше нуля: $x+2 > 0 \implies x > -2$.
2. Правая часть $g(x) = \frac{1}{\sqrt{4-x}}$ определена, когда подкоренное выражение в знаменателе строго больше нуля (так как оно под корнем, оно должно быть $\ge 0$, а так как в знаменателе, оно не может быть равно $0$): $4-x > 0 \implies x < 4$.
3. ОДЗ уравнения — это пересечение найденных множеств, то есть множество значений $x$, удовлетворяющих обоим условиям одновременно: $x > -2$ и $x < 4$.
Таким образом, ОДЗ данного уравнения есть интервал $(-2, 4)$.

Ответ: Областью определения (областью допустимых значений — ОДЗ) уравнения $f(x) = g(x)$ называют множество всех значений переменной $x$, при которых одновременно определены (имеют смысл) обе части уравнения: и левая, $f(x)$, и правая, $g(x)$. Это множество является пересечением областей определения функций $f(x)$ и $g(x)$.

7. Какие вы знаете равносильные преобразования уравнения?

Равносильные (или эквивалентные) преобразования уравнения — это такие преобразования, которые заменяют данное уравнение другим уравнением, имеющим в точности то же множество корней. Кроме того, если исходное уравнение не имеет корней, то и новое уравнение не должно их иметь.

Основные виды равносильных преобразований:

• Перенос слагаемых из одной части уравнения в другую

  Любой член уравнения можно перенести из одной его части в другую, изменив его знак на противоположный. Это преобразование следует из свойства равенств: если к обеим частям верного равенства прибавить (или вычесть) одно и то же число или выражение, имеющее смысл при всех допустимых значениях переменной, то получится верное равенство.

  Например, уравнение $2x + 5 = 10$ равносильно уравнению $2x = 10 - 5$.

  В общем виде: $f(x) = g(x) + h(x) \Leftrightarrow f(x) - h(x) = g(x)$.

  Ответ: Перенос любого слагаемого из одной части уравнения в другую с изменением его знака на противоположный является равносильным преобразованием.

• Умножение или деление обеих частей уравнения на ненулевое выражение

  Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.

  Например, уравнение $\frac{1}{2}x = 3$ равносильно уравнению $x = 3 \cdot 2$, то есть $x=6$.

  Также можно умножать или делить обе части уравнения на выражение $h(x)$, но только при условии, что это выражение определено для всех допустимых значений переменной $x$ и нигде в этой области не обращается в ноль ($h(x) \neq 0$). Если же выражение $h(x)$ может равняться нулю, то умножение на него может привести к появлению посторонних корней, а деление — к потере корней, и такие преобразования не будут равносильными.

  В общем виде: если выражение $h(x) \neq 0$ на области допустимых значений уравнения, то $f(x) = g(x) \Leftrightarrow f(x) \cdot h(x) = g(x) \cdot h(x)$.

  Ответ: Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же отличное от нуля число или на выражение, которое не обращается в ноль на области допустимых значений уравнения, является равносильным преобразованием.

• Тождественные преобразования выражений в частях уравнения

  Замена любого выражения в левой или правой части уравнения на тождественно равное ему выражение, не изменяющая область допустимых значений (ОДЗ) уравнения. К таким преобразованиям относятся: раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых, использование формул сокращенного умножения, основных тригонометрических тождеств и т.д.

  Например, уравнение $(x+3)^2 = 10$ равносильно уравнению $x^2 + 6x + 9 = 10$.

  Важно следить, чтобы преобразование не приводило к изменению ОДЗ. Например, замена $\log_2(x^2)$ на $2\log_2(x)$ не является равносильным преобразованием, так как ОДЗ первого выражения $x \neq 0$, а второго $x > 0$. Правильным равносильным преобразованием будет $\log_2(x^2) = 2\log_2|x|$.

  Ответ: Выполнение тождественных преобразований (упрощение выражений, раскрытие скобок и т.д.) в любой из частей уравнения, не изменяющих его ОДЗ, является равносильным преобразованием.

• Применение строго монотонной функции к обеим частям уравнения

  Если к обеим частям уравнения $f(x) = g(x)$ применить одну и ту же строго монотонную функцию $\phi(t)$ (т.е. функцию, которая на всей своей области определения только возрастает или только убывает), то полученное уравнение $\phi(f(x)) = \phi(g(x))$ будет равносильно исходному. Важно, чтобы обе части уравнения, $f(x)$ и $g(x)$, принадлежали области определения функции $\phi(t)$.

  Примеры таких преобразований:

  • Возведение в нечетную степень: $f(x) = g(x) \Leftrightarrow (f(x))^{2k+1} = (g(x))^{2k+1}$ для любого целого $k \ge 0$.
  • Логарифмирование по одному и тому же основанию (при условии, что обе части уравнения положительны): если $f(x)>0$ и $g(x)>0$, то $f(x) = g(x) \Leftrightarrow \log_a(f(x)) = \log_a(g(x))$ для $a>0, a \neq 1$.

  Преобразования, которые не являются равносильными в общем случае, — это применение немонотонных функций, например, возведение в четную степень. Уравнение $x=3$ имеет один корень, а уравнение $x^2=9$ — два корня ($x=3$ и $x=-3$), поэтому они не равносильны.

  Ответ: Применение строго монотонной функции к обеим частям уравнения является равносильным преобразованием при условии, что обе части уравнения входят в область определения этой функции.

8. Какие вы знаете неравносильные преобразования уравнения?

Неравносильные (или неэквивалентные) преобразования уравнения — это такие преобразования, которые изменяют множество корней исходного уравнения. В результате таких преобразований либо появляются посторонние корни (уравнение-следствие имеет больше корней, чем исходное), либо происходит потеря корней (уравнение-следствие имеет меньше корней).

Рассмотрим основные типы таких преобразований.

1. Возведение обеих частей уравнения в четную степень

Это преобразование часто приводит к появлению посторонних корней. Это связано с тем, что из равенства $A^2 = B^2$ не следует, что $A=B$, а следует, что $A = B$ или $A = -B$. То есть, при возведении в квадрат теряется информация о знаке исходных выражений.

Пример: Дано иррациональное уравнение $\sqrt{x+2} = x$.

Возведем обе части в квадрат, чтобы избавиться от радикала: $(\sqrt{x+2})^2 = x^2$, что приводит к уравнению $x+2 = x^2$.

Перенеся все члены в одну часть, получим квадратное уравнение: $x^2 - x - 2 = 0$.

Корни этого уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Однако эти корни необходимо проверить, подставив их в исходное уравнение:

• Проверка для $x=2$: $\sqrt{2+2} = \sqrt{4} = 2$. В правой части уравнения стоит $x=2$. Равенство $2=2$ верное. Значит, $x=2$ — корень.
• Проверка для $x=-1$: $\sqrt{-1+2} = \sqrt{1} = 1$. В правой части уравнения стоит $x=-1$. Равенство $1=-1$ неверное. Значит, $x=-1$ — посторонний корень, появившийся в результате возведения в квадрат.

Ответ: Возведение обеих частей уравнения в четную степень является неравносильным преобразованием, которое может привести к появлению посторонних корней, поэтому после такого преобразования обязательна проверка найденных корней.

2. Деление или умножение обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестное

Такое преобразование может привести как к потере корней, так и к приобретению посторонних.

Пример (потеря корней): Дано уравнение $x^2 = 4x$.

Если мы разделим обе части на $x$, мы получим $x=4$. При этом мы неявно предположили, что $x \neq 0$. Но $x=0$ является корнем исходного уравнения ($0^2 = 4 \cdot 0$), который был потерян. Правильный способ — перенос всех членов в одну сторону и факторизация: $x^2-4x = 0 \Rightarrow x(x-4)=0$, откуда $x=0$ или $x=4$.

Пример (приобретение корней): Дано уравнение $\frac{x^2-1}{x-1} = 2$.

Если мы умножим обе части на $(x-1)$, то получим $x^2-1 = 2(x-1)$, что равносильно $x^2-1 = 2x-2$, или $x^2-2x+1=0$. Это уравнение $(x-1)^2=0$ имеет единственный корень $x=1$. Однако этот корень является посторонним, так как в исходном уравнении знаменатель $x-1$ не может быть равен нулю, то есть $x \neq 1$. Исходное уравнение вообще не имеет корней (так как после сокращения дроби при $x \neq 1$ получается $x+1=2$, откуда $x=1$, что противоречит условию $x \neq 1$).

Ответ: Деление на выражение с переменной может привести к потере корней (если это выражение равно нулю), а умножение — к приобретению посторонних корней (если это выражение равно нулю).

3. Применение тождеств, изменяющих область допустимых значений (ОДЗ)

Использование некоторых формул и тождеств может сужать или расширять ОДЗ уравнения, что приводит к потере или приобретению корней.

Пример (сужение ОДЗ и потеря корня): Дано уравнение $\log_2(x^2) = 4$.

Выражение $\log_2(x^2)$ определено для всех $x \neq 0$. Если мы применим свойство логарифма $\log_a(b^n) = n \cdot \log_a(b)$ без учета ОДЗ, мы получим $2\log_2(x) = 4$, или $\log_2(x)=2$. Выражение $\log_2(x)$ определено только для $x > 0$. Таким образом, ОДЗ сузилось с $x \neq 0$ до $x>0$.

• Решение исходного уравнения $\log_2(x^2)=4$: $x^2 = 2^4 = 16$, откуда $x=\pm 4$.
• Решение преобразованного уравнения $\log_2(x)=2$: $x=2^2=4$.

Корень $x=-4$ был утерян. Правильное тождество: $\log_a(f(x)^{2k}) = 2k \cdot \log_a|f(x)|$.

Ответ: Применение математических тождеств (особенно логарифмических и тригонометрических) без учета их области применимости может изменить ОДЗ уравнения и привести к потере или приобретению корней.

4. Потенцирование (избавление от логарифмов)

Переход от уравнения вида $\log_a f(x) = \log_a g(x)$ к уравнению $f(x) = g(x)$ может привести к появлению посторонних корней, так как ОДЗ ($f(x)>0$, $g(x)>0$) не учитывается в уравнении-следствии.

Пример: Дано уравнение $\log_{0.5}(x^2 - 5x + 8) = \log_{0.5}(2)$.

Выполняем потенцирование: $x^2 - 5x + 8 = 2$, что дает $x^2 - 5x + 6 = 0$.

Корни этого квадратного уравнения: $x_1=2$ и $x_2=3$.

Теперь нужно проверить, удовлетворяют ли эти корни ОДЗ исходного уравнения, а именно условию $x^2 - 5x + 8 > 0$. Парабола $y=x^2-5x+8$ имеет вершину в точке $x_v = -b/(2a) = 5/2$, а значение в вершине $y_v = (5/2)^2 - 5(5/2) + 8 = 6.25 - 12.5 + 8 = 1.75 > 0$. Так как ветви параболы направлены вверх, выражение $x^2 - 5x + 8$ всегда положительно. Следовательно, оба корня, $2$ и $3$, являются решениями.

Рассмотрим другой пример: $\log_2(x-3) + \log_2(x-2) = 1$. Применив свойство суммы логарифмов, получим $\log_2((x-3)(x-2))=1$. Потенцируя, имеем $(x-3)(x-2)=2^1 \Rightarrow x^2-5x+6=2 \Rightarrow x^2-5x+4=0$. Корни: $x_1=1, x_2=4$. Проверим ОДЗ: $x-3>0$ и $x-2>0$, что равносильно $x>3$. Корень $x=1$ не удовлетворяет ОДЗ, он посторонний. Корень $x=4$ удовлетворяет.

Ответ: Потенцирование логарифмических уравнений является неравносильным преобразованием, которое расширяет ОДЗ и может привести к появлению посторонних корней, поэтому требуется проверка корней или предварительный анализ ОДЗ.

9. Объясните, почему при переходе от уравнения $f(x) = g(x)$ к уравнению $(f(x))^2 = (g(x))^2$ могут появиться посторонние корни.

9.

Переход от уравнения $f(x) = g(x)$ к уравнению $(f(x))^2 = (g(x))^2$ не является равносильным преобразованием. Это преобразование является следствием, что означает, что каждый корень исходного уравнения будет являться корнем нового уравнения, но не наоборот. Корень, который удовлетворяет новому уравнению, но не удовлетворяет исходному, называется посторонним.

Рассмотрим, почему это происходит с алгебраической точки зрения. Уравнение $(f(x))^2 = (g(x))^2$ можно преобразовать следующим образом:

$(f(x))^2 - (g(x))^2 = 0$

Используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, получаем:

$(f(x) - g(x))(f(x) + g(x)) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит нас к совокупности двух уравнений:

$ \left[ \begin{array}{l} f(x) - g(x) = 0 \\ f(x) + g(x) = 0 \end{array} \right. $

Или, в более привычном виде:

$ \left[ \begin{array}{l} f(x) = g(x) \\ f(x) = -g(x) \end{array} \right. $

Таким образом, множество корней уравнения $(f(x))^2 = (g(x))^2$ является объединением множеств корней двух уравнений: исходного уравнения $f(x) = g(x)$ и уравнения $f(x) = -g(x)$. Именно корни второго уравнения, которые не являются корнями первого, и есть те самые посторонние корни.

Пример:

Рассмотрим простое уравнение $x = 3$. У него один корень: $x = 3$.

Возведем обе части в квадрат:

$x^2 = 3^2$

$x^2 = 9$

Решениями этого уравнения являются $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

Корень $x_1 = 3$ является корнем исходного уравнения. А корень $x_2 = -3$ является посторонним, так как при подстановке в исходное уравнение получаем неверное равенство $-3 = 3$. Этот посторонний корень появился как решение уравнения $x = -3$, которое является частью совокупности, полученной после возведения в квадрат.

Ответ: При возведении обеих частей уравнения $f(x) = g(x)$ в квадрат получается уравнение-следствие $(f(x))^2 = (g(x))^2$, которое равносильно совокупности двух уравнений: $f(x) = g(x)$ и $f(x) = -g(x)$. Корни уравнения $f(x) = -g(x)$, которые не являются корнями исходного уравнения $f(x) = g(x)$, являются посторонними.

10. Объясните, почему при переходе от уравнения $\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}$ к уравнению $f(x) = g(x)$ могут появиться посторонние корни.

Переход от уравнения $\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}$ к уравнению $f(x) = g(x)$ осуществляется путем возведения обеих частей уравнения в квадрат. Это преобразование не всегда является равносильным, что и приводит к возможности появления посторонних корней. Причина кроется в изменении области допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$.

1. Анализ исходного уравнения

Исходное уравнение: $\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}$.

Арифметический квадратный корень ($\sqrt{a}$) определен только для неотрицательных значений подкоренного выражения ($a \ge 0$). Следовательно, для уравнения $\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}$ должны одновременно выполняться два условия, составляющие его область допустимых значений (ОДЗ):

$f(x) \ge 0$

$g(x) \ge 0$

Любой корень исходного уравнения должен удовлетворять этой системе неравенств.

2. Анализ уравнения-следствия

После возведения в квадрат мы получаем уравнение-следствие: $f(x) = g(x)$.

Для этого уравнения нет никаких ограничений на знак функций $f(x)$ и $g(x)$. Оно будет верным, если значения функций равны, независимо от их знака. То есть, $f(x)$ и $g(x)$ могут быть одновременно положительными, равными нулю или одновременно отрицательными.

3. Возникновение посторонних корней

Посторонние корни появляются именно в том случае, когда мы находим такое значение $x_0$, для которого $f(x_0) = g(x_0)$, но при этом $f(x_0) < 0$ (и, следовательно, $g(x_0) < 0$).

Такое значение $x_0$ является корнем уравнения $f(x) = g(x)$, но оно не входит в ОДЗ исходного уравнения $\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}$, поскольку подкоренные выражения становятся отрицательными, и корни из них в области действительных чисел не определены.

Пример:

Рассмотрим уравнение $\sqrt{2-x} = \sqrt{x-4}$.

Его ОДЗ определяется системой неравенств:

$2-x \ge 0 \implies x \le 2$

$x-4 \ge 0 \implies x \ge 4$

Эта система не имеет решений ($x \le 2$ и $x \ge 4$ одновременно невыполнимо), следовательно, исходное уравнение не имеет корней.

Теперь возведем обе части в квадрат:

$2-x = x-4$

$6 = 2x$

$x = 3$

Мы получили корень $x=3$ для уравнения-следствия. Однако этот корень является посторонним для исходного уравнения. Если мы подставим $x=3$ в исходное уравнение, то получим:

$\sqrt{2-3} = \sqrt{3-4}$

$\sqrt{-1} = \sqrt{-1}$

Это выражение не имеет смысла в действительных числах. Корень $x=3$ появился потому, что при этом значении $f(x) = 2-3 = -1$ и $g(x) = 3-4 = -1$. Равенство $f(x) = g(x)$ выполняется ($-1 = -1$), но условие неотрицательности подкоренных выражений — нет.

Ответ: При переходе от уравнения $\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}$ к $f(x) = g(x)$ путем возведения в квадрат происходит расширение области допустимых значений. Уравнение-следствие $f(x) = g(x)$ допускает решения, при которых $f(x)$ и $g(x)$ могут быть отрицательными, в то время как для исходного уравнения они должны быть неотрицательными. Корни, для которых $f(x) = g(x) < 0$, и являются посторонними.

11. Объясните, почему при переходе от уравнения $\log_a f(x) = \log_a g(x)$ к уравнению $f(x) = g(x)$ могут появиться посторонние корни.

Переход от уравнения $ \log_a f(x) = \log_a g(x) $ к уравнению $ f(x) = g(x) $ является не равносильным преобразованием, а преобразованием-следствием. Это означает, что все корни исходного уравнения являются корнями второго уравнения, но не все корни второго уравнения обязаны быть корнями исходного. Причина этого кроется в изменении области допустимых значений (ОДЗ).

1. ОДЗ исходного уравнения $ \log_a f(x) = \log_a g(x) $.
Логарифмическая функция определена только для положительных аргументов. Поэтому для существования решений этого уравнения необходимо одновременное выполнение двух условий:

• $ f(x) > 0 $
• $ g(x) > 0 $

Таким образом, ОДЗ исходного уравнения — это все значения $ x $, при которых оба выражения под логарифмами строго положительны.

2. ОДЗ уравнения-следствия $ f(x) = g(x) $.
Это уравнение не содержит логарифмов, и его ОДЗ определяется только областями определения самих функций $ f(x) $ и $ g(x) $. В общем случае, эта область шире, чем ОДЗ исходного логарифмического уравнения.

Почему появляются посторонние корни?
Когда мы переходим от логарифмического уравнения к уравнению $ f(x) = g(x) $, мы фактически отбрасываем ограничения $ f(x) > 0 $ и $ g(x) > 0 $. В результате уравнение $ f(x) = g(x) $ может иметь такие корни $ x_0 $, при которых $ f(x_0) = g(x_0) $, но при этом значение $ f(x_0) $ (а следовательно, и $ g(x_0) $) является отрицательным или равным нулю. Для таких корней $ x_0 $ выражения $ \log_a f(x_0) $ и $ \log_a g(x_0) $ не имеют смысла, поскольку логарифм от неположительного числа не определен. Такие корни и называются посторонними для исходного уравнения.

Пример:
Рассмотрим уравнение $ \log_2 (x^2 - 4) = \log_2 (3x) $.
Его ОДЗ определяется системой неравенств: $ \begin{cases} x^2 - 4 > 0 \\ 3x > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} (x-2)(x+2) > 0 \\ x > 0 \end{cases} \Rightarrow x > 2 $.

Перейдем к уравнению-следствию: $ x^2 - 4 = 3x $
$ x^2 - 3x - 4 = 0 $
По теореме Виета, корни этого квадратного уравнения: $ x_1 = 4 $ и $ x_2 = -1 $.

Теперь проверим эти корни на соответствие ОДЗ ($ x > 2 $):

• $ x_1 = 4 $. Этот корень удовлетворяет условию $ 4 > 2 $, значит, это корень исходного уравнения.
• $ x_2 = -1 $. Этот корень не удовлетворяет условию $ -1 > 2 $. Это посторонний корень.

Если подставить $ x = -1 $ в выражения под логарифмами, получим $ x^2 - 4 = (-1)^2 - 4 = -3 $ и $ 3x = 3(-1) = -3 $. Оба значения отрицательны, поэтому $ \log_2(-3) $ не определен.

Ответ: При переходе от уравнения $ \log_a f(x) = \log_a g(x) $ к уравнению $ f(x) = g(x) $ происходит расширение области допустимых значений (ОДЗ). Уравнение-следствие $ f(x) = g(x) $ может иметь корни, при которых значения $ f(x) $ и $ g(x) $ равны, но при этом являются отрицательными или равными нулю. Для таких корней исходные логарифмические выражения теряют смысл, поэтому эти корни являются посторонними для первоначального уравнения.

12. Объясните, почему при переходе от уравнения $\sqrt{f(x)} = g(x)$ к уравнению $f(x) = (g(x))^2$ могут появиться посторонние корни, а переход от уравнения $\sqrt[3]{f(x)} = g(x)$ к уравнению $f(x) = (g(x))^3$ является равносильным преобразованием.

Рассмотрим исходное уравнение $\sqrt{f(x)} = g(x)$. По определению арифметического квадратного корня, его значение не может быть отрицательным. Это накладывает два ограничения на область допустимых значений (ОДЗ) переменной $x$:

1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $f(x) \ge 0$.
2. Правая часть уравнения, равная значению корня, также должна быть неотрицательной: $g(x) \ge 0$.

Таким образом, исходное уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} f(x) = (g(x))^2 \\ g(x) \ge 0 \end{cases}$

(Условие $f(x) \ge 0$ здесь является избыточным, так как оно автоматически выполняется из-за того, что $f(x)$ равно квадрату выражения $(g(x))^2$, который всегда неотрицателен).

Когда мы возводим обе части исходного уравнения в квадрат, мы переходим к уравнению $f(x) = (g(x))^2$. При этом преобразовании теряется важное условие $g(x) \ge 0$.

Уравнение $f(x) = (g(x))^2$ является следствием не только исходного уравнения $\sqrt{f(x)} = g(x)$, но и уравнения $\sqrt{f(x)} = -g(x)$. Если возвести в квадрат обе части второго уравнения, мы получим то же самое: $f(x) = (-g(x))^2$, что равносильно $f(x) = (g(x))^2$.

Следовательно, уравнение $f(x) = (g(x))^2$ объединяет в себе решения двух уравнений:

$[\sqrt{f(x)} = g(x) \text{ или } \sqrt{f(x)} = -g(x)]$

Те корни, которые удовлетворяют уравнению $\sqrt{f(x)} = -g(x)$, но не удовлетворяют исходному $\sqrt{f(x)} = g(x)$, и являются посторонними. Это происходит для тех значений $x$, при которых $g(x) < 0$. Для таких $x$ левая часть $\sqrt{f(x)}$ неотрицательна, а правая $g(x)$ — отрицательна, что нарушает равенство в исходном уравнении.

Пример: Рассмотрим уравнение $\sqrt{x+7} = x-5$.

Возведем обе части в квадрат: $x+7 = (x-5)^2 \implies x+7 = x^2 - 10x + 25 \implies x^2 - 11x + 18 = 0$.

Корни этого квадратного уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = 9$.

Проверим эти корни, подставив в исходное уравнение:

• Для $x_1 = 2$: $\sqrt{2+7} = \sqrt{9} = 3$. Правая часть: $2-5 = -3$. Получаем $3 = -3$, что неверно. Корень $x=2$ является посторонним, так как для него правая часть $g(x)=x-5$ отрицательна.
• Для $x_2 = 9$: $\sqrt{9+7} = \sqrt{16} = 4$. Правая часть: $9-5 = 4$. Получаем $4 = 4$, что верно. Этот корень является решением.

Ответ: При возведении в квадрат уравнения $\sqrt{f(x)} = g(x)$ происходит расширение области допустимых значений, так как теряется условие $g(x) \ge 0$. Полученное уравнение $f(x) = (g(x))^2$ включает в себя как корни исходного уравнения, так и корни уравнения $\sqrt{f(x)} = -g(x)$. Решения второго уравнения, для которых $g(x) < 0$, и являются посторонними корнями для исходного.

Рассмотрим уравнение $\sqrt[3]{f(x)} = g(x)$.

В отличие от квадратного корня, кубический корень $\sqrt[3]{a}$ определен для любого действительного числа $a$ (как положительного, так и отрицательного или нуля). Его значение может быть также любым действительным числом. Поэтому на функции $f(x)$ и $g(x)$ не накладывается никаких ограничений по знаку, вытекающих из операции извлечения кубического корня.

Рассмотрим операцию возведения в третью степень. Функция $y = t^3$ является строго монотонно возрастающей на всей числовой оси. Это означает, что для любых двух действительных чисел $a$ и $b$ равенство $a=b$ выполняется тогда и только тогда, когда выполняется равенство $a^3 = b^3$.

$a=b \iff a^3 = b^3$

Такое преобразование, при котором сохраняется отношение "тогда и только тогда" (эквивалентность), называется равносильным. Применение равносильного преобразования к обеим частям уравнения не приводит к потере корней или появлению посторонних корней.

Применим это к нашему уравнению. Пусть $a = \sqrt[3]{f(x)}$ и $b = g(x)$. Переход от уравнения $\sqrt[3]{f(x)} = g(x)$ к уравнению $(\sqrt[3]{f(x)})^3 = (g(x))^3$ является равносильным. Так как $(\sqrt[3]{f(x)})^3 = f(x)$, мы получаем уравнение $f(x) = (g(x))^3$, которое имеет в точности то же самое множество решений, что и исходное.

Пример: Рассмотрим уравнение $\sqrt[3]{x^3-7} = x-1$.

Возведем обе части в куб: $x^3-7 = (x-1)^3 \implies x^3-7 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1 \implies 3x^2 - 3x - 6 = 0 \implies x^2 - x - 2 = 0$.

Корни этого уравнения: $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$.

Поскольку преобразование было равносильным, проверка не является обязательной для отсеивания корней, но мы можем выполнить её для демонстрации:

• Для $x_1 = -1$: $\sqrt[3]{(-1)^3-7} = \sqrt[3]{-1-7} = \sqrt[3]{-8} = -2$. Правая часть: $-1-1 = -2$. Получаем $-2 = -2$, что верно.
• Для $x_2 = 2$: $\sqrt[3]{2^3-7} = \sqrt[3]{8-7} = \sqrt[3]{1} = 1$. Правая часть: $2-1=1$. Получаем $1=1$, что верно.

Оба корня являются решениями, посторонние корни не появились.

Ответ: Переход от уравнения $\sqrt[3]{f(x)} = g(x)$ к $f(x) = (g(x))^3$ является равносильным преобразованием, потому что функция возведения в куб ($y = t^3$) является взаимно однозначной для всех действительных чисел. Это означает, что равенство $a=b$ эквивалентно равенству $a^3=b^3$. Такое преобразование не изменяет множество решений уравнения, то есть не приводит ни к потере, ни к приобретению корней.

13. Укажите основные причины возможной потери корней при решении уравнений с одной переменной.

Потеря корней при решении уравнений с одной переменной — это распространенная ошибка, которая возникает из-за выполнения неэквивалентных (неравносильных) преобразований, сужающих множество решений исходного уравнения. Основные причины можно сгруппировать следующим образом:

1. Деление обеих частей уравнения на выражение, содержащее переменную

Это одна из самых частых причин потери корней. Если обе части уравнения $f(x) \cdot g(x) = h(x) \cdot g(x)$ разделить на общий множитель $g(x)$, мы получим уравнение $f(x)=h(x)$. Это преобразование является корректным только при условии, что $g(x) \neq 0$. Если же существуют такие значения переменной, при которых $g(x) = 0$ и которые одновременно являются корнями исходного уравнения, то эти корни будут утеряны.

Правильный способ решения — перенести все члены в одну часть и вынести общий множитель за скобки:

$f(x) \cdot g(x) - h(x) \cdot g(x) = 0$

$g(x) \cdot (f(x) - h(x)) = 0$

Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений: $g(x)=0$ и $f(x)-h(x)=0$.

Пример: Решить уравнение $(x-2)^2 = 3(x-2)$.

Неправильное решение: Разделим обе части на $(x-2)$. Получим $x-2=3$, откуда $x=5$. В этом случае потерян корень.

Правильное решение: Перенесем все в левую часть и вынесем $(x-2)$ за скобки:

$(x-2)^2 - 3(x-2) = 0$

$(x-2)( (x-2) - 3 ) = 0$

$(x-2)(x-5) = 0$

Отсюда $x-2=0$ или $x-5=0$. Корни: $x_1=2$, $x_2=5$.

Ответ: Деление уравнения на выражение с переменной, которое может обращаться в ноль, приводит к потере корней, обращающих это выражение в ноль.

2. Применение преобразований, сужающих Область Допустимых Значений (ОДЗ)

Некоторые формулы и тождества верны лишь при определенных ограничениях, и их бездумное применение может сузить ОДЗ исходного уравнения, что приведет к потере корней, не входящих в новую, более узкую область.

Пример с логарифмами: Использование формулы $\log_a(b^p) = p \cdot \log_a(b)$.

Эта формула в общем виде неверна. Правильная формула для четной степени: $\log_a(f(x)^{2k}) = 2k \cdot \log_a|f(x)|$. Выражение $\log_a(f(x)^2)$ определено для всех $x$, где $f(x) \neq 0$. В то же время выражение $2\log_a(f(x))$ определено только для $f(x) > 0$. Замена первого на второе сужает ОДЗ и отбрасывает корни, для которых $f(x) < 0$.

Решим уравнение $\log_2(x^2) = 4$.

Неправильное решение: $2\log_2(x) = 4 \implies \log_2(x) = 2 \implies x=4$. Потерян корень $x=-4$.

Правильное решение: По определению логарифма $x^2 = 2^4 \implies x^2 = 16 \implies x = \pm 4$.

Пример с корнями: Использование формулы $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$.

Эта формула верна только для $a \ge 0$ и $b \ge 0$. Выражение $\sqrt{f(x)g(x)}$ определено, когда $f(x)g(x) \ge 0$, а выражение $\sqrt{f(x)}\sqrt{g(x)}$ определено, когда одновременно $f(x) \ge 0$ и $g(x) \ge 0$. Второе условие является более строгим.

Решим уравнение $\sqrt{(x+3)(x-1)} = \sqrt{x+3}\sqrt{x-1}$. Потеря корней здесь происходит при переходе от левой части к правой. ОДЗ левой части: $(x+3)(x-1) \ge 0 \implies x \in (-\infty; -3] \cup [1; \infty)$. ОДЗ правой части: $x+3 \ge 0$ и $x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$. Таким образом, преобразование отбрасывает промежуток $(-\infty; -3]$, на котором могут быть корни.

Ответ: Применение формул (например, для логарифмов, корней) без учета их области применимости может привести к сужению ОДЗ и, как следствие, к потере корней.

3. Выполнение неэквивалентного перехода без учета всех случаев

Эта ошибка связана с такими операциями, как возведение в квадрат, извлечение корня или раскрытие модуля, когда рассматривается только один из возможных вариантов.

Пример с извлечением корня: Решить уравнение $(2x-1)^2 = (x+4)^2$.

Уравнение вида $A^2=B^2$ равносильно совокупности $A=B$ и $A=-B$.

Неправильное решение: Извлечем корень из обеих частей: $2x-1 = x+4 \implies x=5$. Потеряна вторая серия решений.

Правильное решение: Рассматриваем два случая:

1) $2x-1 = x+4 \implies x=5$.

2) $2x-1 = -(x+4) \implies 2x-1 = -x-4 \implies 3x = -3 \implies x=-1$.

Корни: $x_1=5$, $x_2=-1$.

Аналогичная ошибка происходит при раскрытии модуля в уравнении вида $|f(x)| = g(x)$, если рассмотреть только случай $f(x)=g(x)$ и забыть про $f(x)=-g(x)$.

Ответ: При решении уравнений, содержащих четные степени или модули, необходимо рассматривать все возможные случаи, возникающие при преобразованиях, чтобы не потерять часть корней.

4. Нахождение только частных решений вместо общих в тригонометрии

При решении тригонометрических уравнений часто используется замена переменной. После нахождения значений для новой переменной (например, $t=\sin x$), необходимо найти все значения $x$, соответствующие каждому найденному значению $t$. Ошибка состоит в том, чтобы записать только одно частное решение (арксинус, арккосинус и т.д.), забывая про периодичность тригонометрических функций.

Пример: Решить уравнение $2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0$.

Пусть $t = \cos x$, где $|t| \le 1$. Уравнение принимает вид $2t^2 - t - 1 = 0$.

Корни этого квадратного уравнения: $t_1=1$ и $t_2 = -1/2$. Оба корня удовлетворяют условию $|t| \le 1$.

Выполняем обратную замену:

1) $\cos x = 1$

2) $\cos x = -1/2$

Неполное решение: Найти по одному корню для каждого случая, например, $x=0$ для первого и $x=2\pi/3$ для второго.

Правильное решение: Записать все серии решений.

1) $\cos x = 1 \implies x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos x = -1/2 \implies x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Таким образом, уравнение имеет бесконечное множество корней, сгруппированных в две серии.

Ответ: В тригонометрических уравнениях необходимо находить общие решения (все серии корней), а не ограничиваться частными значениями.