Страница 402, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Даны два уравнения: $f(x) = g(x)$ и $p(x) = h(x)$. В каком случае их называют равносильными?

Два уравнения, $f(x) = g(x)$ и $p(x) = h(x)$, называют равносильными (или эквивалентными), если множества их решений (корней) полностью совпадают.

Это означает, что любой корень первого уравнения является корнем второго, и, в свою очередь, любой корень второго уравнения является корнем первого. Если обозначить множество корней уравнения $f(x) = g(x)$ как $M_1$, а множество корней уравнения $p(x) = h(x)$ как $M_2$, то уравнения будут равносильны тогда и только тогда, когда $M_1 = M_2$.

Это определение также включает случай, когда уравнения не имеют решений. Если оба уравнения не имеют корней, их множества решений — это пустые множества ($\emptyset$). Поскольку $\emptyset = \emptyset$, такие уравнения также считаются равносильными.

Пример 1 (равносильные уравнения):
Уравнения $x-2=0$ и $5x-10=0$ являются равносильными. Корень первого уравнения — $x=2$. Корень второго уравнения — также $x=2$. Множества их решений совпадают: $\{2\}$.

Пример 2 (неравносильные уравнения):
Уравнения $x=3$ и $x^2=9$ не являются равносильными. У первого уравнения один корень $x=3$. У второго — два корня: $x=3$ и $x=-3$. Множества решений $\{3\}$ и $\{-3, 3\}$ не совпадают.

Ответ: Два уравнения называют равносильными, если множество решений (корней) первого уравнения полностью совпадает с множеством решений (корней) второго уравнения.

2. Известно, что оба уравнения $f(x) = g(x)$ и $p(x) = h(x)$ не имеют корней. Можно ли назвать их равносильными?

Да, эти уравнения являются равносильными.

Равносильными уравнениями называются уравнения, множества решений (корней) которых совпадают.

Рассмотрим первое уравнение, заданное в условии: $f(x) = g(x)$. Нам известно, что оно не имеет корней. Это означает, что множество его решений — это пустое множество ($\emptyset$).

Теперь рассмотрим второе уравнение: $p(x) = h(x)$. По условию, оно также не имеет корней. Следовательно, множество его решений — это тоже пустое множество ($\emptyset$).

Поскольку множество решений первого уравнения совпадает с множеством решений второго уравнения (в обоих случаях это пустое множество), то по определению эти два уравнения являются равносильными.

Ответ: Да, эти уравнения можно назвать равносильными, так как множества их решений совпадают.

3. Даны два уравнения: $f(x) = g(x)$ и $p(x) = h(x)$. В каком случае уравнение $f(x) = g(x)$ является следствием уравнения $p(x) = h(x)$?

По определению, уравнение $f(x) = g(x)$ является следствием уравнения $p(x) = h(x)$, если множество корней уравнения $p(x) = h(x)$ является подмножеством множества корней уравнения $f(x) = g(x)$.

Проще говоря, это означает, что каждый корень уравнения $p(x) = h(x)$ должен также быть корнем уравнения $f(x) = g(x)$.

Обозначим множество решений (корней) первого уравнения $p(x) = h(x)$ как $M_1$.

Обозначим множество решений (корней) второго уравнения $f(x) = g(x)$ как $M_2$.

Тогда условие, при котором второе уравнение является следствием первого, можно записать в виде теоретико-множественного включения: $M_1 \subseteq M_2$.

При этом множество $M_2$ может содержать и другие корни, которых нет в $M_1$. Такие корни называются "посторонними" по отношению к исходному уравнению $p(x) = h(x)$. Появление посторонних корней — типичная ситуация при переходе от уравнения к его следствию (например, при возведении обеих частей уравнения в квадрат).

Пример:

Пусть даны уравнения:

• Уравнение (1): $\sqrt{x} = 2$. Здесь $p(x) = \sqrt{x}$ и $h(x) = 2$. Множество его решений $M_1 = \{4\}$.
• Уравнение (2): $x = 4$. Здесь $f(x) = x$ и $g(x) = 4$. Множество его решений $M_2 = \{4\}$.

Поскольку $M_1 = M_2$, то $M_1 \subseteq M_2$. Значит, уравнение $x=4$ является следствием уравнения $\sqrt{x} = 2$. В данном случае уравнения равносильны.

Другой пример:

• Уравнение (1): $x-1 = 0$. Здесь $p(x) = x-1$ и $h(x) = 0$. Множество его решений $M_1 = \{1\}$.
• Уравнение (2): $(x-1)(x+5) = 0$. Здесь $f(x) = (x-1)(x+5)$ и $g(x) = 0$. Множество его решений $M_2 = \{1, -5\}$.

Поскольку каждый корень первого уравнения (а это только $x=1$) является корнем второго уравнения, то второе уравнение является следствием первого. Выполняется условие $M_1 \subseteq M_2$, так как $\{1\} \subseteq \{1, -5\}$.

Ответ: Уравнение $f(x) = g(x)$ является следствием уравнения $p(x) = h(x)$ в том случае, если каждый корень уравнения $p(x) = h(x)$ является также и корнем уравнения $f(x) = g(x)$. Иными словами, множество корней первого уравнения должно быть подмножеством множества корней второго уравнения.