Номер 1, страница 402, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §55. ч. 1 - номер 1, страница 402.

1. Даны два уравнения: $f(x) = g(x)$ и $p(x) = h(x)$. В каком случае их называют равносильными?

Два уравнения, $f(x) = g(x)$ и $p(x) = h(x)$, называют равносильными (или эквивалентными), если множества их решений (корней) полностью совпадают.

Это означает, что любой корень первого уравнения является корнем второго, и, в свою очередь, любой корень второго уравнения является корнем первого. Если обозначить множество корней уравнения $f(x) = g(x)$ как $M_1$, а множество корней уравнения $p(x) = h(x)$ как $M_2$, то уравнения будут равносильны тогда и только тогда, когда $M_1 = M_2$.

Это определение также включает случай, когда уравнения не имеют решений. Если оба уравнения не имеют корней, их множества решений — это пустые множества ($\emptyset$). Поскольку $\emptyset = \emptyset$, такие уравнения также считаются равносильными.

Пример 1 (равносильные уравнения):
Уравнения $x-2=0$ и $5x-10=0$ являются равносильными. Корень первого уравнения — $x=2$. Корень второго уравнения — также $x=2$. Множества их решений совпадают: $\{2\}$.

Пример 2 (неравносильные уравнения):
Уравнения $x=3$ и $x^2=9$ не являются равносильными. У первого уравнения один корень $x=3$. У второго — два корня: $x=3$ и $x=-3$. Множества решений $\{3\}$ и $\{-3, 3\}$ не совпадают.

Ответ: Два уравнения называют равносильными, если множество решений (корней) первого уравнения полностью совпадает с множеством решений (корней) второго уравнения.