Номер 4, страница 403, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Авторы: Мордкович А. Г., Семенов П. В., Денищева Л. О., Корешкова Т. А., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е.
Тип: Задачник
Издательство: Мнемозина
Год издания: 2019 - 2025
Уровень обучения: базовый
Часть: 1
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-346-04509-0 (общ.), 978-5-346-04510-6 (ч. 1), 978-5-346-04511-3 (ч. 2)
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Вопросы к §55. ч. 1 - номер 4, страница 403.
№4 (с. 403)
Условие. №4 (с. 403)
скриншот условия

4. Даны два уравнения: $f(x) = g(x)$ и $p(x) = h(x)$. Известно, что каждое из них является следствием другого. Можно ли назвать эти уравнения равносильными?
Решение 6. №4 (с. 403)
Для того чтобы ответить на поставленный вопрос, необходимо обратиться к строгим математическим определениям понятий «уравнение-следствие» и «равносильные уравнения».
Пусть даны два уравнения: уравнение $f(x) = g(x)$ и уравнение $p(x) = h(x)$. Обозначим множество всех корней (решений) первого уравнения как $M_1$, а множество всех корней второго уравнения как $M_2$.
Уравнение $p(x) = h(x)$ называется следствием уравнения $f(x) = g(x)$, если любой корень уравнения $f(x) = g(x)$ также является корнем уравнения $p(x) = h(x)$. Это означает, что множество корней $M_1$ является подмножеством множества корней $M_2$. Математически это записывается как $M_1 \subseteq M_2$.
Два уравнения называются равносильными (или эквивалентными), если множества их корней в точности совпадают. Математически это записывается как $M_1 = M_2$.
Теперь проанализируем условие задачи. В нём сказано, что каждое из уравнений является следствием другого. Это означает, что выполняются два условия одновременно:
1. Уравнение $p(x) = h(x)$ является следствием уравнения $f(x) = g(x)$. Исходя из определения, это означает, что $M_1 \subseteq M_2$.
2. Уравнение $f(x) = g(x)$ является следствием уравнения $p(x) = h(x)$. Исходя из определения, это означает, что $M_2 \subseteq M_1$.
В теории множеств известно, что если множество $A$ является подмножеством множества $B$ (что записывается как $A \subseteq B$) и одновременно множество $B$ является подмножеством множества $A$ (что записывается как $B \subseteq A$), то эти множества равны ($A = B$).
Применив это свойство к нашим множествам корней $M_1$ и $M_2$, мы получаем, что из одновременного выполнения условий $M_1 \subseteq M_2$ и $M_2 \subseteq M_1$ следует, что $M_1 = M_2$.
Поскольку мы пришли к выводу, что множества корней данных уравнений совпадают, то, по определению равносильности, эти уравнения являются равносильными.
Ответ: Да, можно назвать эти уравнения равносильными.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 4 расположенного на странице 403 для 1-й части к задачнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №4 (с. 403), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Семенов (Павел Владимирович), Денищева (Лариса Олеговна), Корешкова (Т А), Мишустина (Татьяна Николаевна), Тульчинская (Елена Ефимовна), 1-й части ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Мнемозина.