Номер 4, страница 403, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §55 - номер 4, страница 403.

Условие.

4. Даны два уравнения: $f(x) = g(x)$ и $p(x) = h(x)$. Известно, что каждое из них является следствием другого. Можно ли назвать эти уравнения равносильными?

Решение 6.

Для того чтобы ответить на поставленный вопрос, необходимо обратиться к строгим математическим определениям понятий «уравнение-следствие» и «равносильные уравнения».

Пусть даны два уравнения: уравнение $f(x) = g(x)$ и уравнение $p(x) = h(x)$. Обозначим множество всех корней (решений) первого уравнения как $M_1$, а множество всех корней второго уравнения как $M_2$.

Уравнение $p(x) = h(x)$ называется следствием уравнения $f(x) = g(x)$, если любой корень уравнения $f(x) = g(x)$ также является корнем уравнения $p(x) = h(x)$. Это означает, что множество корней $M_1$ является подмножеством множества корней $M_2$. Математически это записывается как $M_1 \subseteq M_2$.

Два уравнения называются равносильными (или эквивалентными), если множества их корней в точности совпадают. Математически это записывается как $M_1 = M_2$.

Теперь проанализируем условие задачи. В нём сказано, что каждое из уравнений является следствием другого. Это означает, что выполняются два условия одновременно:
1. Уравнение $p(x) = h(x)$ является следствием уравнения $f(x) = g(x)$. Исходя из определения, это означает, что $M_1 \subseteq M_2$.
2. Уравнение $f(x) = g(x)$ является следствием уравнения $p(x) = h(x)$. Исходя из определения, это означает, что $M_2 \subseteq M_1$.

В теории множеств известно, что если множество $A$ является подмножеством множества $B$ (что записывается как $A \subseteq B$) и одновременно множество $B$ является подмножеством множества $A$ (что записывается как $B \subseteq A$), то эти множества равны ($A = B$).

Применив это свойство к нашим множествам корней $M_1$ и $M_2$, мы получаем, что из одновременного выполнения условий $M_1 \subseteq M_2$ и $M_2 \subseteq M_1$ следует, что $M_1 = M_2$.

Поскольку мы пришли к выводу, что множества корней данных уравнений совпадают, то, по определению равносильности, эти уравнения являются равносильными.

Ответ: Да, можно назвать эти уравнения равносильными.