Номер 2, страница 392, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Темы исследовательских работ к главе 9. ч. 1 - номер 2, страница 392.

2. Статистические данные и статистические характеристики.

Статистика — это наука, которая занимается сбором, организацией, анализом, интерпретацией и представлением данных. Ключевыми понятиями в статистике являются статистические данные и их характеристики.

Статистические данные

Статистические данные (или статистическая совокупность) — это множество данных, полученных в результате наблюдения, опроса или эксперимента по какому-либо признаку. Например, это могут быть оценки учеников за контрольную работу, рост призывников, температура воздуха в течение месяца.

Для работы с данными вводятся следующие понятия:

Генеральная совокупность — это вся совокупность объектов, которые подлежат изучению. Например, все ученики школы.

Выборка (или выборочная совокупность) — это часть объектов, случайно отобранная из генеральной совокупности для изучения. Например, ученики одного класса из всей школы. Анализ выборки позволяет делать выводы о всей генеральной совокупности.

Объем совокупности (или выборки) — это число объектов в этой совокупности (выборке). Обозначается буквой $n$.

Варианта — это отдельное значение признака в совокупности данных. Например, если мы рассматриваем оценки "5, 4, 4, 3, 5", то вариантами являются числа 3, 4 и 5.

Вариационный ряд — это упорядоченный по возрастанию или убыванию список всех вариант. Для оценок "5, 4, 4, 3, 5" вариационный ряд будет выглядеть так: "3, 4, 4, 5, 5".

Ответ: Статистические данные — это набор числовой или качественной информации, собранной для анализа. Основные понятия, связанные с данными: генеральная совокупность, выборка, объем выборки, варианта и вариационный ряд.

Статистические характеристики

Статистические характеристики — это числовые показатели, которые используются для обобщения и описания основных свойств и закономерностей набора данных. Они делятся на меры центральной тенденции и меры разброса.

Меры центральной тенденции (показывают, вокруг какого значения группируются данные):

1. Среднее арифметическое — это частное от деления суммы всех чисел ряда на их количество. Для ряда данных $x_1, x_2, ..., x_n$ среднее арифметическое $\bar{x}$ вычисляется по формуле: $\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$ Пример: для ряда 2, 3, 3, 5, 7, 10 среднее арифметическое равно $\frac{2+3+3+5+7+10}{6} = \frac{30}{6} = 5$.

2. Мода ($Mo$) — это значение в наборе данных, которое встречается чаще всего. В ряду может быть одна мода (унимодальный ряд), несколько мод (мультимодальный) или не быть совсем. Пример: для ряда 2, 3, 3, 5, 7, 10 модой является число 3, так как оно встречается дважды.

3. Медиана ($Me$) — это значение, которое делит упорядоченный набор данных на две равные части.

• Если в упорядоченном ряду нечетное число элементов, медиана равна значению, стоящему посередине.
• Если в упорядоченном ряду четное число элементов, медиана равна среднему арифметическому двух значений, стоящих посередине.

Пример: для упорядоченного ряда 2, 3, 3, 5, 7, 10 (6 элементов, четное число) медиана равна среднему арифметическому двух центральных элементов (3-го и 4-го): $Me = \frac{3+5}{2} = 4$.

Меры разброса (показывают, насколько сильно значения отличаются друг от друга и от центральной тенденции):

1. Размах ($R$) — это разность между наибольшим и наименьшим значениями в наборе данных. $R = x_{max} - x_{min}$ Пример: для ряда 2, 3, 3, 5, 7, 10 размах равен $R = 10 - 2 = 8$.

2. Дисперсия ($D$ или $\sigma^2$) — это среднее арифметическое квадратов отклонений значений от их среднего арифметического. Она показывает, насколько данные "разбросаны" вокруг среднего. $D = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n}$ Пример: для ряда 2, 3, 3, 5, 7, 10 (где $\bar{x} = 5$): $D = \frac{(2-5)^2 + (3-5)^2 + (3-5)^2 + (5-5)^2 + (7-5)^2 + (10-5)^2}{6} = \frac{9+4+4+0+4+25}{6} = \frac{46}{6} \approx 7.67$.

3. Среднеквадратическое (стандартное) отклонение ($\sigma$) — это квадратный корень из дисперсии. Эта характеристика более удобна, так как измеряется в тех же единицах, что и исходные данные. $\sigma = \sqrt{D}$ Пример: для нашего ряда $\sigma = \sqrt{\frac{46}{6}} \approx \sqrt{7.67} \approx 2.77$.

Ответ: Статистические характеристики — это числовые меры для описания данных, включающие меры центральной тенденции (среднее арифметическое, мода, медиана) и меры разброса (размах, дисперсия, среднеквадратическое отклонение).