Номер 3, страница 389, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §54. ч. 1 - номер 3, страница 389.

3. Сформулируйте определение независимости двух событий.

$P(A) P(B) P(A + B)$

В теории вероятностей два случайных события $A$ и $B$ называются независимыми, если наступление одного из них никак не влияет на вероятность наступления другого. Это означает, что знание о том, произошло ли одно событие, не даёт никакой новой информации о шансах наступления другого.

Существует два формальных и эквивалентных друг другу определения независимости событий.

1. Определение через вероятность произведения (пересечения) событий.
События $A$ и $B$ являются независимыми тогда и только тогда, когда вероятность их совместного наступления равна произведению их индивидуальных вероятностей.
Математически это выражается формулой:
$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$
Здесь $P(A \cap B)$ (или $P(AB)$) — это вероятность того, что произойдут и событие $A$, и событие $B$. $P(A)$ — это вероятность наступления события $A$, а $P(B)$ — вероятность наступления события $B$.

2. Определение через условную вероятность.
Если вероятности событий $A$ и $B$ больше нуля (т.е. $P(A) > 0$ и $P(B) > 0$), то они независимы тогда и только тогда, когда условная вероятность одного события при условии, что другое уже наступило, равна его безусловной (изначальной) вероятности.
Математически это записывается в виде двух эквивалентных равенств:
$P(A|B) = P(A)$
$P(B|A) = P(B)$
Здесь $P(A|B)$ — это условная вероятность наступления события $A$ при условии, что событие $B$ уже произошло. Данное определение наглядно демонстрирует суть независимости: информация о наступлении события $B$ не меняет оценку вероятности события $A$.

Если указанные условия не выполняются, события $A$ и $B$ называются зависимыми.

Ответ: Два события $A$ и $B$ называются независимыми, если вероятность их совместного наступления равна произведению их вероятностей: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$. Эквивалентное определение для событий с ненулевой вероятностью гласит, что наступление одного события не изменяет вероятность другого: $P(A|B) = P(A)$.