Номер 1, страница 378, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §53 - номер 1, страница 378.

Условие.

1. Запишите формулы для нахождения квадрата и куба суммы двух слагаемых.

Решение 6.

Квадрат суммы двух слагаемых

Формула квадрата суммы двух слагаемых (или двучлена) $a$ и $b$ является одной из основных формул сокращенного умножения. Она используется для раскрытия скобок в выражении вида $(a+b)^2$.

Словесная формулировка: квадрат суммы двух слагаемых равен квадрату первого слагаемого, плюс удвоенное произведение первого слагаемого на второе, плюс квадрат второго слагаемого.

Для вывода формулы необходимо умножить двучлен $(a+b)$ на самого себя:

$(a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b = a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Ответ: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Куб суммы двух слагаемых

Формула куба суммы двух слагаемых $a$ и $b$ также является формулой сокращенного умножения и применяется для раскрытия выражения $(a+b)^3$.

Словесная формулировка: куб суммы двух слагаемых равен кубу первого слагаемого, плюс утроенное произведение квадрата первого слагаемого на второе, плюс утроенное произведение первого слагаемого на квадрат второго, плюс куб второго слагаемого.

Вывод этой формулы можно осуществить, умножив квадрат суммы $(a+b)^2$ на $(a+b)$:

$(a+b)^3 = (a+b)^2(a+b) = (a^2 + 2ab + b^2)(a+b) = a^2 \cdot a + a^2 \cdot b + 2ab \cdot a + 2ab \cdot b + b^2 \cdot a + b^2 \cdot b = a^3 + a^2b + 2a^2b + 2ab^2 + ab^2 + b^3$

После приведения подобных слагаемых получаем:

$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

Ответ: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$