Номер 2, страница 378, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §53 - номер 2, страница 378.

Условие.

2. В выражении $(a+b)^n$ раскрыли скобки и привели подобные. Сколько получилось слагаемых?

Решение 6.

Для того чтобы определить количество слагаемых в выражении $(a + b)^n$ после раскрытия скобок и приведения подобных членов, используется формула бинома Ньютона. Эта формула позволяет разложить двучлен в степени $n$ в сумму:
$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$
где $C_n^k$ — это биномиальные коэффициенты, равные $\frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Запишем разложение в явном виде:
$(a + b)^n = C_n^0 a^n b^0 + C_n^1 a^{n-1} b^1 + C_n^2 a^{n-2} b^2 + \dots + C_n^{n-1} a^1 b^{n-1} + C_n^n a^0 b^n$

Каждое слагаемое в этой сумме имеет вид $C_n^k a^{n-k} b^k$. "Подобные" слагаемые — это те, у которых переменные $a$ и $b$ имеют одинаковые степени. В разложении по формуле бинома Ньютона для каждого значения индекса $k$ (от $0$ до $n$) мы получаем уникальный набор степеней для $a$ и $b$. Например, для $k=1$ буквенная часть слагаемого — $a^{n-1}b^1$, а для $k=2$ — $a^{n-2}b^2$. Так как эти буквенные части различны, то и слагаемые не являются подобными. Таким образом, формула бинома Ньютона уже представляет собой многочлен, в котором все подобные члены приведены.

Следовательно, общее количество слагаемых равно количеству возможных значений, которые принимает индекс $k$. Индекс $k$ принимает все целые значения от $0$ до $n$ включительно: $0, 1, 2, \dots, n$.

Число элементов в этой последовательности равно $(n - 0) + 1 = n + 1$.

Приведем примеры для малых значений $n$:
При $n=2$: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Всего $3$ слагаемых ($2+1=3$).
При $n=3$: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$. Всего $4$ слагаемых ($3+1=4$).

Ответ: $n+1$.