Номер 4, страница 375, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §52 - номер 4, страница 375.

Условие.

4. Сколькими способами можно из $n$ элементов выбрать 2 элемента без учёта порядка?

Решение 6.

4. Эта задача относится к разделу комбинаторики и спрашивает о количестве сочетаний из $n$ элементов по 2. Сочетания — это выборки, в которых порядок элементов не имеет значения.

Давайте разберем задачу по шагам.

1. Сначала представим, что порядок выбора важен. В этом случае мы имеем дело с размещениями.

• Первый элемент мы можем выбрать $n$ способами (любой из $n$ элементов).
• После того как первый элемент выбран, для выбора второго элемента остается $n-1$ вариант.

Таким образом, количество упорядоченных пар (размещений) равно $n \times (n-1)$. Это число обозначается как $A_n^2$.

2. Теперь учтем, что по условию задачи порядок не важен. Это означает, что выборка, состоящая, например, из элемента A и элемента B, ничем не отличается от выборки из элемента B и элемента A. В нашем расчете на первом шаге мы посчитали эти две выборки как разные. То есть каждая неупорядоченная пара из двух элементов была посчитана нами дважды (как {A, B} и {B, A}).

Количество способов, которыми можно упорядочить 2 элемента, равно числу перестановок из двух элементов, то есть $2! = 2 \times 1 = 2$.

3. Чтобы найти количество неупорядоченных выборок (сочетаний), нужно количество упорядоченных выборок (размещений) разделить на количество перестановок в каждой выборке.
Число сочетаний $C_n^2$ равно:
$C_n^2 = \frac{A_n^2}{2!} = \frac{n(n-1)}{2}$

Этот же результат можно получить, используя общую формулу для числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, где $n$ — общее количество элементов, а $k$ — количество элементов в выборке.
В нашем случае $k=2$:
$C_n^2 = \frac{n!}{2!(n-2)!} = \frac{1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot (n-2) \cdot (n-1) \cdot n}{(1 \cdot 2) \cdot (1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot (n-2))}$
Сократив $(n-2)!$ в числителе и знаменателе, мы получим:
$C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$

Ответ: Количество способов выбрать 2 элемента из $n$ без учёта порядка равно $\frac{n(n-1)}{2}$.