Номер 3, страница 365, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §51 - номер 3, страница 365.

Условие.

3. Объясните, почему вероятность достоверного события всегда равна 1.

Решение 6.

Вероятность достоверного события всегда равна 1, и это утверждение можно объяснить с двух основных позиций: с точки зрения классического определения вероятности и с точки зрения аксиоматического подхода.

Классическое определение вероятности

Согласно классическому определению, вероятность события $A$ вычисляется как отношение числа исходов, благоприятствующих этому событию ($m$), к общему числу всех равновозможных элементарных исходов ($n$). Формула выглядит так:
$P(A) = \frac{m}{n}$

Достоверным событием называется такое событие, которое в результате испытания произойдет со 100% гарантией. Это означает, что абсолютно любой возможный исход испытания является благоприятствующим для этого события.
Отсюда следует, что для достоверного события число благоприятствующих исходов $m$ в точности равно общему числу всех возможных исходов $n$.
$m = n$

Если подставить это равенство в формулу вероятности, мы получим:
$P(\text{достоверное событие}) = \frac{m}{n} = \frac{n}{n} = 1$

Пример: Возьмем игральный кубик. Событие "при броске выпадет число от 1 до 6" является достоверным.
Общее число возможных исходов $n = 6$ (выпадение 1, 2, 3, 4, 5 или 6).
Число благоприятствующих исходов $m = 6$ (все 6 исходов удовлетворяют условию).
Вероятность этого события равна: $P = \frac{6}{6} = 1$.

Аксиоматический подход

В современной математике теория вероятностей строится на системе аксиом, предложенной А. Н. Колмогоровым. В этом подходе вероятность — это функция, которая сопоставляет каждому событию число, и эта функция должна удовлетворять нескольким правилам (аксиомам).

Достоверное событие в этой теории соответствует всему пространству элементарных исходов $\Omega$ (то есть множеству всех возможных результатов эксперимента).

Одна из ключевых аксиом (аксиома нормировки) прямо постулирует, что вероятность всего пространства исходов равна единице:
$P(\Omega) = 1$

Это означает, что по самому определению, принятому в современной математике, вероятность события, которое включает в себя все возможные исходы (т.е. достоверного события), равна 1. Это не столько доказывается, сколько принимается за основу, на которой строится вся дальнейшая теория.

Ответ: Вероятность достоверного события равна 1, так как по классическому определению для такого события число благоприятных исходов равно общему числу всех исходов ($m=n$), и их отношение $m/n$ равно 1. В более строгом аксиоматическом подходе это утверждение является одной из фундаментальных аксиом теории вероятностей.