Номер 5, страница 358, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §50. ч. 1 - номер 5, страница 358.

5. Как по таблице распределения вычислить среднее (среднее арифметическое) ряда данных?

Для вычисления среднего арифметического значения ряда данных по таблице распределения (частотной таблице), необходимо найти так называемое взвешенное среднее. Таблица распределения показывает, какие значения (варианты) и сколько раз (с какой частотой) встречаются в наборе данных. Алгоритм вычисления среднего следующий:

1. Найти произведения: Для каждой строки таблицы необходимо умножить значение варианты ($x_i$) на её частоту ($n_i$). Частота показывает, сколько раз данное значение встречается в ряду.

2. Найти сумму произведений: Нужно сложить все произведения, которые были получены на первом шаге. Эта сумма ($\sum x_i n_i$) представляет собой сумму всех значений в исходном ряде данных.

3. Найти общее количество данных: Необходимо сложить все частоты из таблицы ($\sum n_i$). Эта сумма равна общему количеству элементов (наблюдений) в ряде данных, которое обозначается как $N$.

4. Вычислить среднее арифметическое: Разделить сумму произведений, полученную в шаге 2, на общее количество данных, полученное в шаге 3.

Этот процесс описывается общей формулой для среднего арифметического взвешенного:

$\bar{x} = \frac{x_1 n_1 + x_2 n_2 + \dots + x_k n_k}{n_1 + n_2 + \dots + n_k} = \frac{\sum_{i=1}^{k} x_i n_i}{\sum_{i=1}^{k} n_i}$

где:

• $\bar{x}$ – среднее арифметическое;
• $x_i$ – $i$-е значение (варианта) в таблице;
• $n_i$ – частота $i$-го значения;
• $k$ – количество различных значений (вариант).

Пример:

Предположим, у нас есть таблица распределения размеров обуви, проданных за день:

Размер ($x_i$): 38 | 39 | 40 | 41 | 42
Количество пар (частота $n_i$): 5 | 8 | 12 | 7 | 3

Вычислим средний проданный размер обуви:

1. Найдём произведения размера на его частоту:
$38 \cdot 5 = 190$
$39 \cdot 8 = 312$
$40 \cdot 12 = 480$
$41 \cdot 7 = 287$
$42 \cdot 3 = 126$

2. Сложим полученные произведения:
$190 + 312 + 480 + 287 + 126 = 1395$

3. Сложим все частоты, чтобы найти общее количество проданных пар:
$5 + 8 + 12 + 7 + 3 = 35$

4. Разделим сумму произведений на сумму частот:
$\bar{x} = \frac{1395}{35} \approx 39.86$

Таким образом, средний размер проданной обуви составляет примерно 39.86.

Ответ: Чтобы вычислить среднее арифметическое по таблице распределения, нужно найти сумму произведений каждого значения на его частоту и разделить полученную сумму на сумму всех частот. Формула для расчёта: $\bar{x} = \frac{\sum x_i n_i}{\sum n_i}$.