Номер 9, страница 359, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §50 - номер 9, страница 359.

Условие.

9. У каких рядов данных дисперсия равна нулю?

Решение 6.

Дисперсия является мерой разброса или изменчивости данных. Она показывает, насколько далеко в среднем расположены значения в наборе данных от их среднего арифметического.

Формула для вычисления дисперсии ($\sigma^2$) выглядит следующим образом:

$\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n}$

где:

• $x_i$ — это каждый отдельный элемент в ряду данных.
• $\bar{x}$ — это среднее арифметическое всех элементов ряда.
• $n$ — это общее количество элементов в ряду.

Чтобы значение дисперсии было равно нулю ($\sigma^2 = 0$), необходимо, чтобы числитель в этой формуле был равен нулю:

$\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 = 0$

Числитель представляет собой сумму квадратов отклонений каждого элемента от среднего значения. Поскольку квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным (то есть $(x_i - \bar{x})^2 \ge 0$), сумма таких неотрицательных чисел может быть равна нулю только в одном случае: если каждое слагаемое в этой сумме равно нулю.

Таким образом, для каждого элемента $x_i$ в ряду должно выполняться условие:

$(x_i - \bar{x})^2 = 0$

Это, в свою очередь, означает, что:

$x_i - \bar{x} = 0$, или $x_i = \bar{x}$

Это равенство говорит о том, что каждый элемент ряда данных должен быть равен среднему арифметическому этого же ряда. Такое возможно только тогда, когда все элементы в ряду данных абсолютно одинаковы.

Например, для ряда данных {5, 5, 5, 5} среднее значение $\bar{x} = 5$. Отклонение каждого элемента от среднего равно $5 - 5 = 0$. Сумма квадратов отклонений будет $0^2 + 0^2 + 0^2 + 0^2 = 0$, и дисперсия будет равна 0. Если же в ряду есть хотя бы два различных элемента, например {5, 5, 5, 6}, дисперсия уже не будет равна нулю.

Ответ: Дисперсия равна нулю у тех рядов данных, в которых все элементы одинаковы.