Номер 6, страница 366, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §51. ч. 1 - номер 6, страница 366.

6. Чему равна сумма вероятности любого события и вероятности противоположного ему события?

Сумма вероятности любого события и вероятности противоположного ему события всегда равна 1.

Это является одним из фундаментальных свойств в теории вероятностей. Рассмотрим подробнее, почему это так.

Пусть у нас есть некоторое случайное событие $A$. Вероятность этого события обозначается как $P(A)$.

Противоположным событием (или дополнением) к событию $A$ называется событие $\bar{A}$, которое заключается в том, что событие $A$ не произошло.

Ключевой момент заключается в том, что в результате любого испытания обязательно произойдет либо событие $A$, либо противоположное ему событие $\bar{A}$. Эти два события охватывают все возможные исходы и не могут произойти одновременно. В терминах теории вероятностей их объединение образует достоверное событие — событие, которое происходит всегда, а его вероятность по определению равна 1.

Поскольку события $A$ и $\bar{A}$ несовместны (не могут случиться вместе), вероятность их объединения (то есть наступления хотя бы одного из них) равна сумме их вероятностей. Это можно записать в виде формулы:

$P(A \cup \bar{A}) = P(A) + P(\bar{A})$

Так как объединение $A$ и $\bar{A}$ является достоверным событием, вероятность которого, как мы установили, равна 1, мы получаем итоговое равенство:

$P(A) + P(\bar{A}) = 1$

Проиллюстрируем это на примере. Возьмем игральный кубик с шестью гранями. Пусть событие $A$ — «выпало число, большее 4» (то есть 5 или 6). Всего в кубике 6 равновероятных исходов. Благоприятных исходов для события $A$ два. Вероятность события $A$ равна:

$P(A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Противоположное событие $\bar{A}$ — «не выпало число, большее 4». Это означает, что выпало число, меньшее или равное 4 (то есть 1, 2, 3 или 4). Количество благоприятных исходов для $\bar{A}$ равно 4. Вероятность противоположного события:

$P(\bar{A}) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Теперь найдем сумму этих вероятностей:

$P(A) + P(\bar{A}) = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = \frac{3}{3} = 1$

Как мы видим, сумма равна 1. Этот принцип справедлив для любого без исключения события.

Ответ: 1