Номер 6, страница 375, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §52 - номер 6, страница 375.

Условие.

6. Запишите формулы для вычисления числа размещений и числа сочетаний из $n$ элементов по $k$.

Решение 6.

Число размещений

Размещениями из $n$ элементов по $k$ называются упорядоченные наборы из $k$ различных элементов, выбранных из множества, содержащего $n$ элементов. В размещениях важен порядок следования элементов. Например, наборы (1, 2, 3) и (3, 2, 1) являются разными размещениями.

Число размещений без повторений из $n$ по $k$ обозначается $A_n^k$ и вычисляется по формуле:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

где $n$ — общее количество элементов, $k$ — количество элементов в выборке ($0 \le k \le n$), а $n!$ (n-факториал) — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$.

Ответ: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

Число сочетаний

Сочетаниями из $n$ элементов по $k$ называются неупорядоченные наборы (подмножества) из $k$ различных элементов, выбранных из множества, содержащего $n$ элементов. В отличие от размещений, для сочетаний порядок элементов в выборке не имеет значения. Например, наборы {1, 2, 3} и {3, 2, 1} представляют собой одно и то же сочетание.

Число сочетаний без повторений из $n$ по $k$ обозначается $C_n^k$ или $\binom{n}{k}$ и вычисляется по формуле:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

где $n$ — общее количество элементов, а $k$ — количество элементов в выборке ($0 \le k \le n$).

Ответ: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$