Страница 375, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Вычислите первые 7 членов последовательности $x_n = n!, n \in N$.

Для того чтобы вычислить первые 7 членов последовательности, заданной формулой $x_n = n!$, необходимо найти значения этой функции для $n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$. По условию, $n \in \mathbb{N}$, то есть $n$ является натуральным числом.

Формула $x_n = n!$ означает, что n-ый член последовательности равен факториалу числа $n$. Факториал числа $n$ (обозначается $n!$) — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$ включительно: $n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n$.

Выполним вычисления для каждого из первых семи членов:

Для n = 1:
$x_1 = 1! = 1$

Для n = 2:
$x_2 = 2! = 1 \cdot 2 = 2$

Для n = 3:
$x_3 = 3! = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$

Для n = 4:
$x_4 = 4! = 3! \cdot 4 = 6 \cdot 4 = 24$

Для n = 5:
$x_5 = 5! = 4! \cdot 5 = 24 \cdot 5 = 120$

Для n = 6:
$x_6 = 6! = 5! \cdot 6 = 120 \cdot 6 = 720$

Для n = 7:
$x_7 = 7! = 6! \cdot 7 = 720 \cdot 7 = 5040$

Ответ: Первые 7 членов последовательности: 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040.

2. Во сколько раз число $6!$ больше суммы $(4! + 5!)?$

Чтобы определить, во сколько раз число $6!$ больше суммы $(4! + 5!)$, нужно найти результат деления числа $6!$ на сумму $(4! + 5!)$. Запишем это в виде дроби:

$\frac{6!}{4! + 5!}$

Для решения задачи можно пойти двумя путями.

Способ 1: Прямое вычисление

Сначала вычислим значение каждого факториала. Факториал числа $n$ (обозначается как $n!$) — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$.

$4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$

$5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120$

$6! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 = 720$

Теперь найдем сумму в знаменателе:

$4! + 5! = 24 + 120 = 144$

Наконец, выполним деление:

$\frac{6!}{4! + 5!} = \frac{720}{144} = 5$

Способ 2: Упрощение выражения

Этот способ позволяет избежать вычисления больших чисел. Преобразуем знаменатель, вынеся за скобки общий множитель $4!$. Для этого представим $5!$ как $5 \cdot 4!$:

$4! + 5! = 4! + (5 \cdot 4!) = 4! \cdot (1 + 5) = 4! \cdot 6$

Теперь подставим полученное выражение в нашу дробь:

$\frac{6!}{4! + 5!} = \frac{6!}{4! \cdot 6}$

Теперь распишем $6!$ в числителе как $6 \cdot 5 \cdot 4!$:

$\frac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{4! \cdot 6}$

Сократим одинаковые множители ($6$ и $4!$) в числителе и знаменателе:

$\frac{\cancel{6} \cdot 5 \cdot \cancel{4!}}{\cancel{4!} \cdot \cancel{6}} = 5$

Таким образом, число $6!$ больше суммы $(4! + 5!)$ в 5 раз.

Ответ: 5

3. Сформулируйте теорему о перестановках множества из $n$ элементов.

Перестановка из $n$ элементов — это любое упорядоченное множество (расположение в определенном порядке) этих элементов. Две перестановки считаются различными, если они отличаются порядком следования элементов.

Теорема о числе перестановок:
Число всех возможных перестановок множества, состоящего из $n$ различных элементов, равно произведению всех натуральных чисел от 1 до $n$. Это число обозначается $P_n$ и называется «эн факториал».

Формула для вычисления числа перестановок:
$P_n = n!$
где $n!$ (факториал числа $n$) вычисляется как:
$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot (n-1) \cdot n$
По определению также принимается, что $0! = 1$.

Обоснование формулы:
При формировании перестановки на первое место в упорядоченном наборе можно поставить любой из $n$ элементов. После того как первый элемент выбран, на второе место можно поставить любой из оставшихся $n-1$ элементов. На третье место — любой из $n-2$ элементов, и так далее. На предпоследнее место можно поставить один из двух оставшихся элементов, а на последнее, $n$-е место, остаётся только один единственный элемент.
Согласно правилу произведения в комбинаторике, общее число способов расположить все $n$ элементов равно произведению числа доступных вариантов для каждой позиции:
$P_n = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1 = n!$

Ответ: Теорема о перестановках множества из $n$ элементов утверждает, что число всех различных перестановок (упорядоченных наборов) этого множества равно $n$-факториалу. Это выражается формулой: $P_n = n!$.

4. Сколькими способами можно из $n$ элементов выбрать 2 элемента без учёта порядка?

4. Эта задача относится к разделу комбинаторики и спрашивает о количестве сочетаний из $n$ элементов по 2. Сочетания — это выборки, в которых порядок элементов не имеет значения.

Давайте разберем задачу по шагам.

1. Сначала представим, что порядок выбора важен. В этом случае мы имеем дело с размещениями.

• Первый элемент мы можем выбрать $n$ способами (любой из $n$ элементов).
• После того как первый элемент выбран, для выбора второго элемента остается $n-1$ вариант.

Таким образом, количество упорядоченных пар (размещений) равно $n \times (n-1)$. Это число обозначается как $A_n^2$.

2. Теперь учтем, что по условию задачи порядок не важен. Это означает, что выборка, состоящая, например, из элемента A и элемента B, ничем не отличается от выборки из элемента B и элемента A. В нашем расчете на первом шаге мы посчитали эти две выборки как разные. То есть каждая неупорядоченная пара из двух элементов была посчитана нами дважды (как {A, B} и {B, A}).

Количество способов, которыми можно упорядочить 2 элемента, равно числу перестановок из двух элементов, то есть $2! = 2 \times 1 = 2$.

3. Чтобы найти количество неупорядоченных выборок (сочетаний), нужно количество упорядоченных выборок (размещений) разделить на количество перестановок в каждой выборке.
Число сочетаний $C_n^2$ равно:
$C_n^2 = \frac{A_n^2}{2!} = \frac{n(n-1)}{2}$

Этот же результат можно получить, используя общую формулу для числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, где $n$ — общее количество элементов, а $k$ — количество элементов в выборке.
В нашем случае $k=2$:
$C_n^2 = \frac{n!}{2!(n-2)!} = \frac{1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot (n-2) \cdot (n-1) \cdot n}{(1 \cdot 2) \cdot (1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot (n-2))}$
Сократив $(n-2)!$ в числителе и знаменателе, мы получим:
$C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$

Ответ: Количество способов выбрать 2 элемента из $n$ без учёта порядка равно $\frac{n(n-1)}{2}$.

5. Дайте определение числа размещений и числа сочетаний из $n$ элементов по $k$.

Число размещений
Размещением из $n$ элементов по $k$ (где $k \le n$) называется любое упорядоченное подмножество, состоящее из $k$ различных элементов, выбранных из данного множества, содержащего $n$ элементов.
Ключевой особенностью размещений является то, что важен порядок следования элементов. Два размещения считаются различными, если они отличаются составом элементов или порядком их расположения.
Например, для множества $\{А, Б, В\}$ размещениями по 2 элемента будут являться наборы (А, Б), (Б, А), (А, В), (В, А), (Б, В), (В, Б). Здесь (А, Б) и (Б, А) — это два разных размещения.
Число всех возможных размещений из $n$ элементов по $k$ обозначается как $A_n^k$ и вычисляется по формуле:
$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \dots \cdot (n-k+1)$
где $n!$ (n-факториал) — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$.

Ответ: Размещение — это упорядоченный набор из $k$ элементов, выбранных из множества $n$ элементов. Число размещений $A_n^k$ находится по формуле $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.

Число сочетаний
Сочетанием из $n$ элементов по $k$ (где $k \le n$) называется любое неупорядоченное подмножество, состоящее из $k$ различных элементов, выбранных из данного множества, содержащего $n$ элементов.
В отличие от размещений, в сочетаниях порядок элементов не имеет значения. Два сочетания считаются различными, только если они отличаются своим элементным составом.
Например, для множества $\{А, Б, В\}$ сочетаниями по 2 элемента будут являться наборы {А, Б}, {А, В}, {Б, В}. Наборы {А, Б} и {Б, А} считаются одним и тем же сочетанием.
Число всех возможных сочетаний из $n$ элементов по $k$ обозначается как $C_n^k$ или $\binom{n}{k}$ и вычисляется по формуле:
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
Эту формулу можно также представить через число размещений: $C_n^k = \frac{A_n^k}{k!}$. Это означает, что для получения числа сочетаний мы берем число всех упорядоченных наборов (размещений) и делим на количество перестановок ($k!$) элементов внутри каждого набора, так как эти перестановки не создают нового сочетания.

Ответ: Сочетание — это неупорядоченный набор из $k$ элементов, выбранных из множества $n$ элементов. Число сочетаний $C_n^k$ находится по формуле $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

6. Запишите формулы для вычисления числа размещений и числа сочетаний из $n$ элементов по $k$.

Число размещений

Размещениями из $n$ элементов по $k$ называются упорядоченные наборы из $k$ различных элементов, выбранных из множества, содержащего $n$ элементов. В размещениях важен порядок следования элементов. Например, наборы (1, 2, 3) и (3, 2, 1) являются разными размещениями.

Число размещений без повторений из $n$ по $k$ обозначается $A_n^k$ и вычисляется по формуле:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

где $n$ — общее количество элементов, $k$ — количество элементов в выборке ($0 \le k \le n$), а $n!$ (n-факториал) — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$.

Ответ: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

Число сочетаний

Сочетаниями из $n$ элементов по $k$ называются неупорядоченные наборы (подмножества) из $k$ различных элементов, выбранных из множества, содержащего $n$ элементов. В отличие от размещений, для сочетаний порядок элементов в выборке не имеет значения. Например, наборы {1, 2, 3} и {3, 2, 1} представляют собой одно и то же сочетание.

Число сочетаний без повторений из $n$ по $k$ обозначается $C_n^k$ или $\binom{n}{k}$ и вычисляется по формуле:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

где $n$ — общее количество элементов, а $k$ — количество элементов в выборке ($0 \le k \le n$).

Ответ: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

7. Запишите треугольник Паскаля до пятой строки.

Треугольник Паскаля — это бесконечная числовая таблица треугольной формы, в которой по боковым сторонам стоят единицы, а каждый другой элемент равен сумме двух элементов, стоящих над ним в предыдущей строке. Строки в треугольнике Паскаля принято нумеровать с нуля ($n=0, 1, 2, ...$).

Для того чтобы записать треугольник Паскаля до пятой строки, нам нужно построить строки с номерами от 0 до 4.

Построение треугольника Паскаля по строкам:

Строка 0 (n=0):Самая верхняя, нулевая строка, состоит из одного числа — 1.

1

Строка 1 (n=1):Эта строка состоит из двух единиц по краям.

1 1

Строка 2 (n=2):По краям стоят единицы. Центральный элемент вычисляется как сумма двух чисел над ним из предыдущей строки: $1 + 1 = 2$.

1 2 1

Строка 3 (n=3):По краям стоят единицы. Внутренние элементы вычисляются аналогично: первый — $1 + 2 = 3$, второй — $2 + 1 = 3$.

1 3 3 1

Строка 4 (n=4):Это пятая по счёту строка. По краям стоят единицы. Внутренние элементы: $1 + 3 = 4$, $3 + 3 = 6$, $3 + 1 = 4$.

1 4 6 4 1

Собрав все строки вместе, мы получаем треугольник Паскаля до пятой строки.

Ответ:

8. Как по числам, расположенным в $(n-1)$-й строке треугольника Паскаля, вычислить числа, расположенные в $n$-й строке?

Числа, расположенные в $n$-й строке треугольника Паскаля, можно вычислить на основе чисел из предыдущей, $(n-1)$-й, строки, используя простое рекуррентное соотношение. Это правило является основополагающим для построения треугольника.

Основное правило
Каждый элемент $n$-й строки, за исключением крайних, равен сумме двух элементов $(n-1)$-й строки, которые находятся непосредственно над ним. Крайние элементы любой строки всегда равны единице.

Формула и обозначения
Если обозначить элемент в $n$-й строке и на $k$-й позиции как биномиальный коэффициент $C_n^k$ (где нумерация строк $n$ и позиций $k$ начинается с 0), то правило можно записать в виде формулы, известной как тождество Паскаля:
$C_n^k = C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^k$
Эта формула верна для всех $k$ в диапазоне $0 < k < n$.
Для крайних элементов ($k=0$ и $k=n$) правило еще проще:
$C_n^0 = 1$ и $C_n^n = 1$.

Пример вычисления
Предположим, у нас есть 3-я строка (то есть $n-1=3$):
$1 \quad 3 \quad 3 \quad 1$
Это соответствует коэффициентам $C_3^0=1$, $C_3^1=3$, $C_3^2=3$, $C_3^3=1$.

Чтобы получить 4-ю строку ($n=4$), мы действуем следующим образом:
1. Начинаем строку с 1, так как $C_4^0 = 1$.
2. Вычисляем следующий элемент, складывая первую пару из 3-й строки: $C_4^1 = C_3^0 + C_3^1 = 1 + 3 = 4$.
3. Вычисляем третий элемент, складывая вторую пару: $C_4^2 = C_3^1 + C_3^2 = 3 + 3 = 6$.
4. Вычисляем четвертый элемент, складывая третью пару: $C_4^3 = C_3^2 + C_3^3 = 3 + 1 = 4$.
5. Заканчиваем строку единицей, так как $C_4^4 = 1$.

В результате получаем 4-ю строку:
$1 \quad 4 \quad 6 \quad 4 \quad 1$

Ответ: Чтобы вычислить числа в $n$-й строке, нужно знать, что первый и последний ее элементы равны 1, а каждый из остальных элементов равен сумме двух чисел, стоящих над ним в $(n-1)$-й строке. Формально это правило выражается тождеством Паскаля $C_n^k = C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^k$ для $0 < k < n$.