Страница 378, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Запишите формулы для нахождения квадрата и куба суммы двух слагаемых.

Квадрат суммы двух слагаемых

Формула квадрата суммы двух слагаемых (или двучлена) $a$ и $b$ является одной из основных формул сокращенного умножения. Она используется для раскрытия скобок в выражении вида $(a+b)^2$.

Словесная формулировка: квадрат суммы двух слагаемых равен квадрату первого слагаемого, плюс удвоенное произведение первого слагаемого на второе, плюс квадрат второго слагаемого.

Для вывода формулы необходимо умножить двучлен $(a+b)$ на самого себя:

$(a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b = a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Ответ: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Куб суммы двух слагаемых

Формула куба суммы двух слагаемых $a$ и $b$ также является формулой сокращенного умножения и применяется для раскрытия выражения $(a+b)^3$.

Словесная формулировка: куб суммы двух слагаемых равен кубу первого слагаемого, плюс утроенное произведение квадрата первого слагаемого на второе, плюс утроенное произведение первого слагаемого на квадрат второго, плюс куб второго слагаемого.

Вывод этой формулы можно осуществить, умножив квадрат суммы $(a+b)^2$ на $(a+b)$:

$(a+b)^3 = (a+b)^2(a+b) = (a^2 + 2ab + b^2)(a+b) = a^2 \cdot a + a^2 \cdot b + 2ab \cdot a + 2ab \cdot b + b^2 \cdot a + b^2 \cdot b = a^3 + a^2b + 2a^2b + 2ab^2 + ab^2 + b^3$

После приведения подобных слагаемых получаем:

$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

Ответ: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

2. В выражении $(a+b)^n$ раскрыли скобки и привели подобные. Сколько получилось слагаемых?

Для того чтобы определить количество слагаемых в выражении $(a + b)^n$ после раскрытия скобок и приведения подобных членов, используется формула бинома Ньютона. Эта формула позволяет разложить двучлен в степени $n$ в сумму:
$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$
где $C_n^k$ — это биномиальные коэффициенты, равные $\frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Запишем разложение в явном виде:
$(a + b)^n = C_n^0 a^n b^0 + C_n^1 a^{n-1} b^1 + C_n^2 a^{n-2} b^2 + \dots + C_n^{n-1} a^1 b^{n-1} + C_n^n a^0 b^n$

Каждое слагаемое в этой сумме имеет вид $C_n^k a^{n-k} b^k$. "Подобные" слагаемые — это те, у которых переменные $a$ и $b$ имеют одинаковые степени. В разложении по формуле бинома Ньютона для каждого значения индекса $k$ (от $0$ до $n$) мы получаем уникальный набор степеней для $a$ и $b$. Например, для $k=1$ буквенная часть слагаемого — $a^{n-1}b^1$, а для $k=2$ — $a^{n-2}b^2$. Так как эти буквенные части различны, то и слагаемые не являются подобными. Таким образом, формула бинома Ньютона уже представляет собой многочлен, в котором все подобные члены приведены.

Следовательно, общее количество слагаемых равно количеству возможных значений, которые принимает индекс $k$. Индекс $k$ принимает все целые значения от $0$ до $n$ включительно: $0, 1, 2, \dots, n$.

Число элементов в этой последовательности равно $(n - 0) + 1 = n + 1$.

Приведем примеры для малых значений $n$:
При $n=2$: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Всего $3$ слагаемых ($2+1=3$).
При $n=3$: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$. Всего $4$ слагаемых ($3+1=4$).

Ответ: $n+1$.

3. В выражении $(2a + 1)^4$ раскрыли скобки и привели подобные. Чему равен коэффициент при $a^3$?

Для того чтобы найти коэффициент при $a^3$ в выражении $(2a + 1)^4$, можно воспользоваться формулой бинома Ньютона. Формула разложения бинома $(x+y)^n$ имеет вид:

$(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k} y^k$

где $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальный коэффициент.

В нашем случае $x = 2a$, $y = 1$ и $n = 4$. Общий член разложения будет выглядеть так:

$T_{k+1} = \binom{4}{k} (2a)^{4-k} (1)^k = \binom{4}{k} 2^{4-k} a^{4-k}$

Нас интересует член разложения, в котором переменная $a$ находится в третьей степени, то есть $a^3$. Для этого степень $4-k$ должна быть равна 3:

$4 - k = 3$

Отсюда находим $k = 1$.

Теперь подставим значение $k=1$ в формулу для общего члена, чтобы найти искомый член разложения:

$T_{1+1} = T_2 = \binom{4}{1} (2a)^{4-1} (1)^1 = \binom{4}{1} (2a)^3$

Сначала вычислим биномиальный коэффициент $\binom{4}{1}$:

$\binom{4}{1} = \frac{4!}{1!(4-1)!} = \frac{4!}{1!3!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{1 \cdot (3 \cdot 2 \cdot 1)} = 4$

Теперь вычислим весь член полностью:

$4 \cdot (2a)^3 = 4 \cdot (2^3 \cdot a^3) = 4 \cdot 8a^3 = 32a^3$

Следовательно, коэффициент при $a^3$ в разложении выражения $(2a+1)^4$ равен 32.

Ответ: 32

4. Раскройте скобки в выражении $(x - 1)^5$ по биному Ньютона.

Для раскрытия скобок в выражении $(x-1)^5$ воспользуемся формулой бинома Ньютона:

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ – биномиальные коэффициенты.

В данном случае, мы имеем $a=x$, $b=-1$ и $n=5$. Подставим эти значения в формулу:

$(x - 1)^5 = (x + (-1))^5 = \sum_{k=0}^{5} C_5^k x^{5-k} (-1)^k$

Теперь раскроем сумму, подставляя значения $k$ от 0 до 5:

$(x - 1)^5 = C_5^0 x^{5-0}(-1)^0 + C_5^1 x^{5-1}(-1)^1 + C_5^2 x^{5-2}(-1)^2 + C_5^3 x^{5-3}(-1)^3 + C_5^4 x^{5-4}(-1)^4 + C_5^5 x^{5-5}(-1)^5$

Упростим степени $(-1)^k$:

$(x - 1)^5 = C_5^0 x^5 - C_5^1 x^4 + C_5^2 x^3 - C_5^3 x^2 + C_5^4 x - C_5^5$

Далее вычислим значения биномиальных коэффициентов $C_5^k$:

• $C_5^0 = \frac{5!}{0!(5-0)!} = 1$
• $C_5^1 = \frac{5!}{1!(5-1)!} = \frac{5!}{1 \cdot 4!} = 5$
• $C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$
• $C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$
• $C_5^4 = \frac{5!}{4!(5-4)!} = \frac{5!}{4! \cdot 1} = 5$
• $C_5^5 = \frac{5!}{5!(5-5)!} = 1$

Эти коэффициенты соответствуют шестой строке треугольника Паскаля (нумерация с единицы): 1, 5, 10, 10, 5, 1.

Подставим вычисленные коэффициенты в наше разложение:

$(x - 1)^5 = 1 \cdot x^5 - 5 \cdot x^4 + 10 \cdot x^3 - 10 \cdot x^2 + 5 \cdot x - 1$

Таким образом, окончательное выражение после раскрытия скобок:

$(x - 1)^5 = x^5 - 5x^4 + 10x^3 - 10x^2 + 5x - 1$

Ответ: $x^5 - 5x^4 + 10x^3 - 10x^2 + 5x - 1$