Номер 4, страница 378, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §53 - номер 4, страница 378.

Условие.

4. Раскройте скобки в выражении $(x - 1)^5$ по биному Ньютона.

Решение 6.

Для раскрытия скобок в выражении $(x-1)^5$ воспользуемся формулой бинома Ньютона:

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ – биномиальные коэффициенты.

В данном случае, мы имеем $a=x$, $b=-1$ и $n=5$. Подставим эти значения в формулу:

$(x - 1)^5 = (x + (-1))^5 = \sum_{k=0}^{5} C_5^k x^{5-k} (-1)^k$

Теперь раскроем сумму, подставляя значения $k$ от 0 до 5:

$(x - 1)^5 = C_5^0 x^{5-0}(-1)^0 + C_5^1 x^{5-1}(-1)^1 + C_5^2 x^{5-2}(-1)^2 + C_5^3 x^{5-3}(-1)^3 + C_5^4 x^{5-4}(-1)^4 + C_5^5 x^{5-5}(-1)^5$

Упростим степени $(-1)^k$:

$(x - 1)^5 = C_5^0 x^5 - C_5^1 x^4 + C_5^2 x^3 - C_5^3 x^2 + C_5^4 x - C_5^5$

Далее вычислим значения биномиальных коэффициентов $C_5^k$:

• $C_5^0 = \frac{5!}{0!(5-0)!} = 1$
• $C_5^1 = \frac{5!}{1!(5-1)!} = \frac{5!}{1 \cdot 4!} = 5$
• $C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$
• $C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$
• $C_5^4 = \frac{5!}{4!(5-4)!} = \frac{5!}{4! \cdot 1} = 5$
• $C_5^5 = \frac{5!}{5!(5-5)!} = 1$

Эти коэффициенты соответствуют шестой строке треугольника Паскаля (нумерация с единицы): 1, 5, 10, 10, 5, 1.

Подставим вычисленные коэффициенты в наше разложение:

$(x - 1)^5 = 1 \cdot x^5 - 5 \cdot x^4 + 10 \cdot x^3 - 10 \cdot x^2 + 5 \cdot x - 1$

Таким образом, окончательное выражение после раскрытия скобок:

$(x - 1)^5 = x^5 - 5x^4 + 10x^3 - 10x^2 + 5x - 1$

Ответ: $x^5 - 5x^4 + 10x^3 - 10x^2 + 5x - 1$