Номер 3, страница 378, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §53 - номер 3, страница 378.

Условие.

3. В выражении $(2a + 1)^4$ раскрыли скобки и привели подобные. Чему равен коэффициент при $a^3$?

Решение 6.

Для того чтобы найти коэффициент при $a^3$ в выражении $(2a + 1)^4$, можно воспользоваться формулой бинома Ньютона. Формула разложения бинома $(x+y)^n$ имеет вид:

$(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k} y^k$

где $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальный коэффициент.

В нашем случае $x = 2a$, $y = 1$ и $n = 4$. Общий член разложения будет выглядеть так:

$T_{k+1} = \binom{4}{k} (2a)^{4-k} (1)^k = \binom{4}{k} 2^{4-k} a^{4-k}$

Нас интересует член разложения, в котором переменная $a$ находится в третьей степени, то есть $a^3$. Для этого степень $4-k$ должна быть равна 3:

$4 - k = 3$

Отсюда находим $k = 1$.

Теперь подставим значение $k=1$ в формулу для общего члена, чтобы найти искомый член разложения:

$T_{1+1} = T_2 = \binom{4}{1} (2a)^{4-1} (1)^1 = \binom{4}{1} (2a)^3$

Сначала вычислим биномиальный коэффициент $\binom{4}{1}$:

$\binom{4}{1} = \frac{4!}{1!(4-1)!} = \frac{4!}{1!3!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{1 \cdot (3 \cdot 2 \cdot 1)} = 4$

Теперь вычислим весь член полностью:

$4 \cdot (2a)^3 = 4 \cdot (2^3 \cdot a^3) = 4 \cdot 8a^3 = 32a^3$

Следовательно, коэффициент при $a^3$ в разложении выражения $(2a+1)^4$ равен 32.

Ответ: 32