Номер 4, страница 389, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §54 - номер 4, страница 389.

Условие.

4. Запишите формулу, связывающую вероятности $P(A)$, $P(B)$, $P(A + B)$ и $P(AB)$.

Решение 6.

Формула, связывающая вероятности $P(A)$, $P(B)$, $P(A + B)$ и $P(AB)$, является фундаментальной в теории вероятностей и носит название теоремы сложения вероятностей для двух произвольных событий.

Для начала разберем обозначения:
• $P(A)$ — вероятность наступления события $A$.
• $P(B)$ — вероятность наступления события $B$.
• $P(A + B)$ — вероятность суммы (или объединения, $A \cup B$) событий, то есть вероятность того, что произойдет хотя бы одно из событий: либо $A$, либо $B$, либо оба вместе.
• $P(AB)$ — вероятность произведения (или пересечения, $A \cap B$) событий, то есть вероятность того, что события $A$ и $B$ произойдут одновременно.

События $A$ и $B$ называются совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании. Для таких событий формула, связывающая указанные вероятности, выглядит следующим образом:

$$P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB)$$

Пояснение формулы:
При сложении вероятностей $P(A)$ и $P(B)$ мы учитываем все исходы, благоприятствующие событию $A$, и все исходы, благоприятствующие событию $B$. Однако те исходы, при которых события $A$ и $B$ наступают одновременно (то есть исходы, входящие в их пересечение $AB$), оказываются посчитанными дважды: один раз в составе $P(A)$ и второй раз в составе $P(B)$. Чтобы скорректировать этот двойной учет, необходимо один раз вычесть вероятность их совместного наступления, то есть $P(AB)$.

Эта формула является обобщением и верна для любых двух событий. В частном случае, если события $A$ и $B$ несовместны (не могут произойти одновременно), то их пересечение пусто, и вероятность их совместного наступления $P(AB) = 0$. Тогда формула упрощается до $P(A + B) = P(A) + P(B)$.

Ответ: $P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB)$