Страница 389, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Как, зная вероятности $P(A)$ и $P(B)$, найти вероятность $P(A + B)$ суммы двух несовместных событий $A$ и $B$?

1. Чтобы найти вероятность суммы двух событий $P(A + B)$, необходимо воспользоваться теоремой сложения вероятностей. Вид этой теоремы зависит от того, являются ли события совместными или несовместными.

События $A$ и $B$ называются несовместными, если они не могут произойти одновременно в одном и том же испытании. Это означает, что наступление одного события полностью исключает наступление другого. Например, при одном броске монеты выпадение «орла» и выпадение «решки» являются несовместными событиями.

Для любых двух событий (в том числе совместных) общая формула для вероятности их суммы (то есть вероятности наступления хотя бы одного из событий) выглядит так: $$P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB)$$ Здесь $P(A)$ и $P(B)$ — это вероятности наступления событий $A$ и $B$ по отдельности, а $P(AB)$ — это вероятность их совместного наступления (то есть одновременного происхождения и события $A$, и события $B$).

Поскольку по условию события $A$ и $B$ являются несовместными, их одновременное наступление невозможно. Следовательно, вероятность их совместного наступления равна нулю: $$P(AB) = 0$$

Подставив это значение в общую формулу, мы получаем упрощенную формулу, которая является теоремой сложения для несовместных событий: $$P(A + B) = P(A) + P(B) - 0$$ $$P(A + B) = P(A) + P(B)$$

Таким образом, зная вероятности $P(A)$ и $P(B)$ двух несовместных событий, вероятность их суммы можно найти, просто сложив эти вероятности.

Ответ: Вероятность $P(A + B)$ суммы двух несовместных событий $A$ и $B$ находится по формуле $P(A + B) = P(A) + P(B)$.

2. Сформулируйте определение произведения двух событий.

В теории вероятностей произведением (пересечением) двух событий $A$ и $B$ называется событие $C$, которое заключается в том, что в результате испытания происходят оба этих события одновременно.

То есть, событие-произведение наступает тогда и только тогда, когда наступает и событие $A$, и событие $B$.

Произведение событий $A$ и $B$ обозначается как $A \cap B$ (читается «А пересечение Б»), $A \cdot B$ или просто $AB$. Наиболее строгим и общепринятым является обозначение $A \cap B$, так как оно соответствует операции пересечения множеств в теории множеств, где события трактуются как подмножества пространства элементарных исходов.

Пример:

Проводится испытание — подбрасывается игральный кубик.

Пусть событие $A$ — «выпало число очков, большее 3». Элементарные исходы, благоприятствующие событию $A$: $\{4, 5, 6\}$.

Пусть событие $B$ — «выпало нечетное число очков». Элементарные исходы, благоприятствующие событию $B$: $\{1, 3, 5\}$.

Произведением этих событий будет событие $C = A \cap B$, которое означает, что «выпало число очков, большее 3, и при этом нечетное». Для наступления события $C$ должны выполниться оба условия. Единственный элементарный исход, который является общим для множеств исходов событий $A$ и $B$, — это $\{5\}$. Таким образом, событие $C$ произойдет только в том случае, если на кубике выпадет 5.

Ответ: Произведением двух событий $A$ и $B$ называется событие, которое наступает в том и только в том случае, когда наступают оба события: и событие $A$, и событие $B$.

3. Сформулируйте определение независимости двух событий.

$P(A) P(B) P(A + B)$

В теории вероятностей два случайных события $A$ и $B$ называются независимыми, если наступление одного из них никак не влияет на вероятность наступления другого. Это означает, что знание о том, произошло ли одно событие, не даёт никакой новой информации о шансах наступления другого.

Существует два формальных и эквивалентных друг другу определения независимости событий.

1. Определение через вероятность произведения (пересечения) событий.
События $A$ и $B$ являются независимыми тогда и только тогда, когда вероятность их совместного наступления равна произведению их индивидуальных вероятностей.
Математически это выражается формулой:
$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$
Здесь $P(A \cap B)$ (или $P(AB)$) — это вероятность того, что произойдут и событие $A$, и событие $B$. $P(A)$ — это вероятность наступления события $A$, а $P(B)$ — вероятность наступления события $B$.

2. Определение через условную вероятность.
Если вероятности событий $A$ и $B$ больше нуля (т.е. $P(A) > 0$ и $P(B) > 0$), то они независимы тогда и только тогда, когда условная вероятность одного события при условии, что другое уже наступило, равна его безусловной (изначальной) вероятности.
Математически это записывается в виде двух эквивалентных равенств:
$P(A|B) = P(A)$
$P(B|A) = P(B)$
Здесь $P(A|B)$ — это условная вероятность наступления события $A$ при условии, что событие $B$ уже произошло. Данное определение наглядно демонстрирует суть независимости: информация о наступлении события $B$ не меняет оценку вероятности события $A$.

Если указанные условия не выполняются, события $A$ и $B$ называются зависимыми.

Ответ: Два события $A$ и $B$ называются независимыми, если вероятность их совместного наступления равна произведению их вероятностей: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$. Эквивалентное определение для событий с ненулевой вероятностью гласит, что наступление одного события не изменяет вероятность другого: $P(A|B) = P(A)$.

4. Запишите формулу, связывающую вероятности $P(A)$, $P(B)$, $P(A + B)$ и $P(AB)$.

Формула, связывающая вероятности $P(A)$, $P(B)$, $P(A + B)$ и $P(AB)$, является фундаментальной в теории вероятностей и носит название теоремы сложения вероятностей для двух произвольных событий.

Для начала разберем обозначения:
• $P(A)$ — вероятность наступления события $A$.
• $P(B)$ — вероятность наступления события $B$.
• $P(A + B)$ — вероятность суммы (или объединения, $A \cup B$) событий, то есть вероятность того, что произойдет хотя бы одно из событий: либо $A$, либо $B$, либо оба вместе.
• $P(AB)$ — вероятность произведения (или пересечения, $A \cap B$) событий, то есть вероятность того, что события $A$ и $B$ произойдут одновременно.

События $A$ и $B$ называются совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании. Для таких событий формула, связывающая указанные вероятности, выглядит следующим образом:

$$P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB)$$

Пояснение формулы:
При сложении вероятностей $P(A)$ и $P(B)$ мы учитываем все исходы, благоприятствующие событию $A$, и все исходы, благоприятствующие событию $B$. Однако те исходы, при которых события $A$ и $B$ наступают одновременно (то есть исходы, входящие в их пересечение $AB$), оказываются посчитанными дважды: один раз в составе $P(A)$ и второй раз в составе $P(B)$. Чтобы скорректировать этот двойной учет, необходимо один раз вычесть вероятность их совместного наступления, то есть $P(AB)$.

Эта формула является обобщением и верна для любых двух событий. В частном случае, если события $A$ и $B$ несовместны (не могут произойти одновременно), то их пересечение пусто, и вероятность их совместного наступления $P(AB) = 0$. Тогда формула упрощается до $P(A + B) = P(A) + P(B)$.

Ответ: $P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB)$

5. Как выглядит предыдущая формула в случае двух независимых событий?

5. Вероятнее всего, под "предыдущей формулой" понимается общая теорема умножения вероятностей, которая позволяет найти вероятность совместного наступления двух событий $A$ и $B$. В общем виде для любых событий (зависимых или независимых) она записывается так:

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$

Здесь $P(A \cap B)$ — это вероятность пересечения событий (то есть, что произойдут и событие $A$, и событие $B$), а $P(B|A)$ — это условная вероятность события $B$ при условии, что событие $A$ уже произошло.

Два события называются независимыми, если наступление одного из них не изменяет вероятность наступления другого. Для независимых событий $A$ и $B$ по определению выполняется следующее равенство:

$P(B|A) = P(B)$

Подставив это условие независимости в общую теорему умножения, мы получим искомую формулу для двух независимых событий:

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

Таким образом, вероятность совместного наступления двух независимых событий равна простому произведению их вероятностей.

Ответ: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

6. Сформулируйте теорему Бернулли.

Термин "теорема Бернулли" является многозначным и может относиться к различным результатам в математике и физике, полученным членами семьи Бернулли. Ниже приведены наиболее известные из них.

Теорема Бернулли в теории вероятностей (закон больших чисел)

Эта теорема, доказанная Якобом Бернулли, является одной из первых формулировок закона больших чисел. Она устанавливает связь между относительной частотой появления случайного события и его теоретической вероятностью в длинной серии независимых испытаний.

Формулировка: Если вероятность наступления события $A$ в каждом из $n$ независимых испытаний постоянна и равна $p$, то для любого сколь угодно малого положительного числа $\epsilon$ вероятность того, что абсолютная величина отклонения относительной частоты $\frac{m}{n}$ от вероятности $p$ не превысит $\epsilon$, будет стремиться к единице при неограниченном увеличении числа испытаний $n$.

Математическая запись теоремы:

$\lim_{n \to \infty} P\left(\left|\frac{m}{n} - p\right| < \epsilon\right) = 1$

где $m$ — число наступлений события $A$ в $n$ испытаниях.

Ответ: Теорема Бернулли гласит, что относительная частота события в серии независимых испытаний сходится по вероятности к теоретической вероятности этого события, что выражается формулой $\lim_{n \to \infty} P\left(\left|\frac{m}{n} - p\right| < \epsilon\right) = 1$.

Формула Бернулли

Эта формула также относится к теории вероятностей и позволяет рассчитать вероятность получения определённого числа "успехов" в серии независимых испытаний (так называемой схеме Бернулли).
Формулировка: Вероятность $P_n(k)$ того, что в $n$ независимых испытаниях, в каждом из которых событие может наступить с вероятностью $p$, это событие наступит ровно $k$ раз, вычисляется по формуле:

$P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$

Здесь $q = 1-p$ — вероятность "неудачи", а $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальный коэффициент, обозначающий число способов выбрать $k$ успешных испытаний из $n$.

Ответ: Вероятность получить ровно $k$ успехов в $n$ независимых испытаниях Бернулли равна $P_n(k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}$.

Закон (уравнение) Бернулли в гидродинамике

Этот фундаментальный закон, сформулированный Даниилом Бернулли, описывает сохранение энергии для стационарного потока идеальной жидкости (то есть невязкой и несжимаемой).
Формулировка: Для любой точки текущей идеальной жидкости вдоль одной линии тока сумма статического давления, динамического давления и гидростатического давления является величиной постоянной.
Математически это выражается уравнением:

$p + \frac{\rho v^2}{2} + \rho g h = \text{const}$

где:
$p$ — статическое давление в жидкости,
$\rho$ — плотность жидкости,
$v$ — скорость потока в данной точке,
$g$ — ускорение свободного падения,
$h$ — высота точки над условным нулевым уровнем.
Из этого закона следует, что при увеличении скорости потока давление в нём падает, и наоборот (при $h=\text{const}$).

Ответ: Закон Бернулли для стационарного потока идеальной жидкости гласит, что сумма давлений $p + \frac{\rho v^2}{2} + \rho g h$ является постоянной величиной вдоль линии тока.

7. Опишите, в чём состоит явление статистической устойчивости.

Явление статистической устойчивости (или статистической регулярности) заключается в том, что хотя результаты отдельных случайных экспериментов непредсказуемы, при их многократном повторении в одинаковых условиях наблюдаются определённые закономерности в виде стабилизации средних величин. Ключевой такой величиной является относительная частота.

Суть явления в следующем: пусть проводится серия из $n$ независимых испытаний, в каждом из которых может наступить или не наступить некоторое событие $A$. Если $n_A$ — это число раз, когда событие $A$ произошло, то относительная частота события $A$ вычисляется по формуле: $$ W(A) = \frac{n_A}{n} $$ При малом числе испытаний $n$ значение $W(A)$ может сильно меняться от одной серии к другой. Однако опыт показывает, что по мере увеличения числа испытаний $n$ относительная частота $W(A)$ стабилизируется, то есть её колебания становятся всё меньше, и она стремится к некоторому постоянному числу. Это число и принимается за объективную меру возможности появления события, то есть за его вероятность.

Классическим примером является подбрасывание симметричной монеты. Мы не можем предсказать, выпадет ли "орёл" в следующем броске, но многочисленные эксперименты, проведённые исторически (например, Ж. Бюффоном, К. Пирсоном), показали, что при очень большом количестве бросков относительная частота выпадения "орла" неизменно приближается к 0,5. Другой пример — контроль качества на производстве: невозможно предсказать, будет ли конкретный произведенный товар бракованным, но доля бракованных изделий в большой партии оказывается практически постоянной величиной, что позволяет оценивать и управлять качеством. Аналогично в демографии: пол конкретного новорождённого случаен, но доля мальчиков среди всех новорождённых в стране за год — это очень стабильная величина, близкая к 0,512.

Таким образом, явление статистической устойчивости служит эмпирическим (опытным) фундаментом для теории вероятностей. Оно оправдывает использование вероятностных моделей для описания реальных массовых случайных явлений. Математическим выражением и теоретическим обоснованием этого явления является закон больших чисел (в частности, теорема Бернулли), который строго доказывает, что при неограниченном увеличении числа испытаний относительная частота события сходится по вероятности к его истинной вероятности.

Ответ: Явление статистической устойчивости — это эмпирически наблюдаемый факт, который заключается в том, что при проведении большого числа однородных случайных испытаний относительная частота наступления некоторого события теряет свой случайный характер и стабилизируется, приближаясь к некоторой постоянной величине, называемой вероятностью данного события.

8. Сформулируйте правило нахождения геометрических вероятностей для случая плоских фигур.

Геометрическое определение вероятности используется в задачах, где пространство элементарных исходов можно представить как геометрическое множество (например, отрезок, плоскую фигуру или трехмерное тело), а вероятность попадания случайной точки в какую-либо часть этого множества пропорциональна мере этой части (соответственно, длине, площади или объему) и не зависит от ее расположения или формы.

Рассмотрим случай плоских фигур. Пусть на плоскости имеется некоторая измеримая фигура $\Omega$, представляющая собой множество всех возможных исходов эксперимента. Пусть внутри $\Omega$ есть другая фигура $A$ ($A \subset \Omega$), попадание точки в которую является благоприятным исходом.

Эксперимент заключается в том, что в фигуру $\Omega$ наугад бросается точка. Предполагается, что вероятность попадания этой точки в любую часть фигуры $\Omega$ пропорциональна площади этой части.

При этих условиях правило нахождения геометрической вероятности события $A$ заключается в следующем: вероятность того, что случайно брошенная в фигуру $\Omega$ точка попадет в фигуру $A$, равна отношению площади фигуры $A$ к площади фигуры $\Omega$.

Это правило выражается формулой: $P(A) = \frac{S(A)}{S(\Omega)}$, где $P(A)$ — это искомая вероятность, $S(A)$ — это площадь фигуры $A$ (мера множества благоприятных исходов), а $S(\Omega)$ — это площадь фигуры $\Omega$ (мера множества всех элементарных исходов).

Ответ: Для плоских фигур, если в фигуру $\Omega$ наугад бросается точка, то вероятность $P(A)$ того, что эта точка попадет в некоторую фигуру $A$, которая является частью фигуры $\Omega$, равна отношению площади фигуры $A$ к площади фигуры $\Omega$. Формула для расчета: $P(A) = \frac{S(A)}{S(\Omega)}$.