Страница 392, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Статистика о нашем классе.

На изображении представлена только тема для задачи — "Статистика о нашем классе". Так как конкретные данные и вопрос отсутствуют, приведем развернутое решение типовой задачи по этой теме.

Предположим, было проведено исследование, в ходе которого учеников опросили, сколько часов в неделю они тратят на выполнение домашних заданий. Были получены следующие данные (в часах) для 15 учеников:

8, 10, 5, 7, 8, 12, 10, 9, 8, 11, 7, 9, 8, 6, 10

Требуется найти основные статистические характеристики этого ряда данных: среднее арифметическое, медиану, моду и размах.

а) Нахождение среднего арифметического

Среднее арифметическое — это сумма всех чисел в ряду, деленная на их количество. Формула для расчета среднего арифметического ($\bar{x}$) выглядит так:

$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$

Сначала найдем сумму всех значений в нашем ряду данных:

$8 + 10 + 5 + 7 + 8 + 12 + 10 + 9 + 8 + 11 + 7 + 9 + 8 + 6 + 10 = 128$

Количество учеников (и, соответственно, данных в ряду $n$) равно 15. Теперь разделим сумму на количество:

$\bar{x} = \frac{128}{15} \approx 8.53$

Ответ: Среднее арифметическое время, затрачиваемое на домашние задания, составляет примерно 8.53 часа.

б) Нахождение медианы

Медиана — это значение, которое находится в середине упорядоченного ряда данных. Если количество данных нечетное, то медиана — это число, стоящее ровно посередине. Если четное — среднее арифметическое двух центральных чисел.

Сначала упорядочим наш ряд данных по возрастанию:

5, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 10, 10, 10, 11, 12

В нашем ряду 15 значений (нечетное число). Чтобы найти номер центрального элемента, используем формулу $(n + 1) / 2$, где $n$ — количество элементов.

Номер медианного элемента = $(15 + 1) / 2 = 16 / 2 = 8$.

Это означает, что медианой является 8-е по счету число в упорядоченном ряду. Посмотрим на наш ряд:

5, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 10, 10, 10, 11, 12

Восьмое число в ряду — это 8.

Ответ: Медиана ряда данных равна 8 часам.

в) Нахождение моды

Мода — это значение, которое встречается в ряду данных чаще всего. В одном ряду может быть одна мода, несколько или не быть вовсе.

Проанализируем частоту появления каждого числа в нашем ряду: 5, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 10, 10, 10, 11, 12.

5: встречается 1 раз
6: встречается 1 раз
7: встречается 2 раза
8: встречается 4 раза
9: встречается 2 раза
10: встречается 3 раза
11: встречается 1 раз
12: встречается 1 раз

Число 8 встречается чаще всего (4 раза).

Ответ: Мода данного ряда равна 8 часам.

г) Нахождение размаха

Размах ряда — это разность между максимальным и минимальным значениями в ряду данных.

Наш упорядоченный ряд: 5, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 10, 10, 10, 11, 12.

Максимальное значение ($X_{max}$) в ряду равно 12.

Минимальное значение ($X_{min}$) в ряду равно 5.

Размах = $X_{max} - X_{min} = 12 - 5 = 7$.

Ответ: Размах ряда данных составляет 7 часов.

2. Статистические данные и статистические характеристики.

Статистика — это наука, которая занимается сбором, организацией, анализом, интерпретацией и представлением данных. Ключевыми понятиями в статистике являются статистические данные и их характеристики.

Статистические данные

Статистические данные (или статистическая совокупность) — это множество данных, полученных в результате наблюдения, опроса или эксперимента по какому-либо признаку. Например, это могут быть оценки учеников за контрольную работу, рост призывников, температура воздуха в течение месяца.

Для работы с данными вводятся следующие понятия:

Генеральная совокупность — это вся совокупность объектов, которые подлежат изучению. Например, все ученики школы.

Выборка (или выборочная совокупность) — это часть объектов, случайно отобранная из генеральной совокупности для изучения. Например, ученики одного класса из всей школы. Анализ выборки позволяет делать выводы о всей генеральной совокупности.

Объем совокупности (или выборки) — это число объектов в этой совокупности (выборке). Обозначается буквой $n$.

Варианта — это отдельное значение признака в совокупности данных. Например, если мы рассматриваем оценки "5, 4, 4, 3, 5", то вариантами являются числа 3, 4 и 5.

Вариационный ряд — это упорядоченный по возрастанию или убыванию список всех вариант. Для оценок "5, 4, 4, 3, 5" вариационный ряд будет выглядеть так: "3, 4, 4, 5, 5".

Ответ: Статистические данные — это набор числовой или качественной информации, собранной для анализа. Основные понятия, связанные с данными: генеральная совокупность, выборка, объем выборки, варианта и вариационный ряд.

Статистические характеристики

Статистические характеристики — это числовые показатели, которые используются для обобщения и описания основных свойств и закономерностей набора данных. Они делятся на меры центральной тенденции и меры разброса.

Меры центральной тенденции (показывают, вокруг какого значения группируются данные):

1. Среднее арифметическое — это частное от деления суммы всех чисел ряда на их количество. Для ряда данных $x_1, x_2, ..., x_n$ среднее арифметическое $\bar{x}$ вычисляется по формуле: $\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$ Пример: для ряда 2, 3, 3, 5, 7, 10 среднее арифметическое равно $\frac{2+3+3+5+7+10}{6} = \frac{30}{6} = 5$.

2. Мода ($Mo$) — это значение в наборе данных, которое встречается чаще всего. В ряду может быть одна мода (унимодальный ряд), несколько мод (мультимодальный) или не быть совсем. Пример: для ряда 2, 3, 3, 5, 7, 10 модой является число 3, так как оно встречается дважды.

3. Медиана ($Me$) — это значение, которое делит упорядоченный набор данных на две равные части.

• Если в упорядоченном ряду нечетное число элементов, медиана равна значению, стоящему посередине.
• Если в упорядоченном ряду четное число элементов, медиана равна среднему арифметическому двух значений, стоящих посередине.

Пример: для упорядоченного ряда 2, 3, 3, 5, 7, 10 (6 элементов, четное число) медиана равна среднему арифметическому двух центральных элементов (3-го и 4-го): $Me = \frac{3+5}{2} = 4$.

Меры разброса (показывают, насколько сильно значения отличаются друг от друга и от центральной тенденции):

1. Размах ($R$) — это разность между наибольшим и наименьшим значениями в наборе данных. $R = x_{max} - x_{min}$ Пример: для ряда 2, 3, 3, 5, 7, 10 размах равен $R = 10 - 2 = 8$.

2. Дисперсия ($D$ или $\sigma^2$) — это среднее арифметическое квадратов отклонений значений от их среднего арифметического. Она показывает, насколько данные "разбросаны" вокруг среднего. $D = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n}$ Пример: для ряда 2, 3, 3, 5, 7, 10 (где $\bar{x} = 5$): $D = \frac{(2-5)^2 + (3-5)^2 + (3-5)^2 + (5-5)^2 + (7-5)^2 + (10-5)^2}{6} = \frac{9+4+4+0+4+25}{6} = \frac{46}{6} \approx 7.67$.

3. Среднеквадратическое (стандартное) отклонение ($\sigma$) — это квадратный корень из дисперсии. Эта характеристика более удобна, так как измеряется в тех же единицах, что и исходные данные. $\sigma = \sqrt{D}$ Пример: для нашего ряда $\sigma = \sqrt{\frac{46}{6}} \approx \sqrt{7.67} \approx 2.77$.

Ответ: Статистические характеристики — это числовые меры для описания данных, включающие меры центральной тенденции (среднее арифметическое, мода, медиана) и меры разброса (размах, дисперсия, среднеквадратическое отклонение).

3. Симметричные и несимметричные деревья вариантов.

Дерево вариантов — это наглядная схема, которая помогает перечислить и подсчитать все возможные исходы (варианты) какого-либо действия или эксперимента, состоящего из нескольких последовательных шагов. Корень дерева представляет начало процесса, ветви — возможные действия на каждом шаге, а листья (конечные вершины) — итоговые результаты. В зависимости от условий задачи, деревья вариантов могут быть симметричными и несимметричными.

Симметричные деревья вариантов

Дерево вариантов называется симметричным, если на каждом шаге (уровне дерева) из любой вершины выходит одинаковое количество ветвей. Это означает, что количество вариантов выбора на текущем шаге не зависит от того, какие именно решения были приняты на предыдущих шагах.

Пример: Сколько различных четырехзначных пин-кодов можно составить, используя цифры от 0 до 9?

Процесс состоит из четырех последовательных шагов — выбора каждой из четырех цифр пин-кода.

• Шаг 1: Для первой цифры есть 10 вариантов (любая цифра от 0 до 9).
• Шаг 2: Для второй цифры также есть 10 вариантов, так как цифры могут повторяться. Этот выбор не зависит от первой цифры.
• Шаг 3: Для третьей цифры снова 10 вариантов.
• Шаг 4: Для четвертой цифры — 10 вариантов.

В таком дереве из корневой вершины выйдет 10 ветвей. Из каждой из 10 полученных вершин выйдет еще по 10 ветвей, и так будет продолжаться на всех четырех уровнях. Общее количество вариантов подсчитывается по правилу умножения в комбинаторике. Если процесс состоит из $k$ шагов и на каждом шаге доступно $n$ вариантов, то общее число исходов равно $n^k$.

Для нашего примера $k=4$ и $n=10$. Общее количество пин-кодов: $10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10^4 = 10000$.

Ответ: В симметричном дереве вариантов количество выборов на каждом этапе постоянно. Общее число исходов ($N$) находится как произведение числа вариантов на каждом шаге, что для одинакового числа вариантов ($n$) на $k$ шагах сводится к формуле $N = n^k$.

Несимметричные деревья вариантов

Дерево вариантов называется несимметричным, если количество ветвей, исходящих из вершин одного и того же уровня, может быть разным. Такая ситуация возникает, когда количество доступных вариантов на очередном шаге зависит от конкретного выбора, сделанного на предыдущем шаге.

Пример 1 (убывающее число вариантов): В забеге участвуют 5 спортсменов. Сколькими способами могут распределиться три призовых места (золото, серебро, бронза)?

• Шаг 1 (Золото): На первое место претендуют 5 спортсменов. 5 вариантов.
• Шаг 2 (Серебро): После того как один спортсмен получил золото, на второе место претендуют оставшиеся 4. Из каждой из 5 вершин первого уровня будет выходить по 4 ветви.
• Шаг 3 (Бронза): После распределения первых двух мест на третье претендуют оставшиеся 3 спортсмена. Из каждой вершины второго уровня будет выходить по 3 ветви.

Хотя из всех вершин одного уровня выходит одинаковое количество ветвей ($5 \to 4 \to 3$), само дерево не является строго симметричным, так как количество ветвей меняется от уровня к уровню. Общее число способов: $5 \times 4 \times 3 = 60$.

Пример 2 (явная асимметрия): Турист хочет посетить два города из трех: Рим, Париж, Лондон. Но он не хочет ехать в Лондон сразу после Парижа. Сколько у него вариантов маршрута?

Строим дерево вариантов:

• Корень (выбор первого города):
  • Ветвь "Рим": после него можно поехать в Париж или Лондон. (2 варианта)
  • Ветвь "Париж": после него можно поехать только в Рим (в Лондон нельзя по условию). (1 вариант)
  • Ветвь "Лондон": после него можно поехать в Рим или Париж. (2 варианта)

Вершины "Рим", "Париж" и "Лондон" находятся на одном уровне (первый шаг), но из них выходит разное количество ветвей (2, 1 и 2 соответственно). Это делает дерево несимметричным. Для подсчета общего числа вариантов нужно сложить количество конечных исходов по каждой из начальных ветвей: $2 + 1 + 2 = 5$.

Ответ: В несимметричном дереве вариантов количество выборов на каком-либо шаге зависит от ранее принятых решений. Общее число исходов находится либо путем перемножения числа вариантов на каждом шаге, если оно меняется только от уровня к уровню, либо путем сложения итоговых вариантов по каждой из различающихся ветвей.

4. Задачи на применение правила умножения.

Правило умножения в комбинаторике, также известное как основное правило подсчета, является фундаментальным принципом для нахождения числа возможных исходов в сложной ситуации. Оно гласит: если некоторый выбор (действие) А можно совершить $n_1$ способами, и после этого другой выбор B можно совершить $n_2$ способами, то последовательность выборов А и B можно совершить $N = n_1 \times n_2$ способами. Это правило можно обобщить на любую последовательность из $k$ выборов:

$N = n_1 \times n_2 \times n_3 \times \dots \times n_k$

Ниже представлены решения типовых задач с использованием этого правила.

а) В столовой предлагается 3 вида супа, 5 видов вторых блюд и 4 вида напитков. Сколькими способами можно составить обед из трех блюд (суп, второе и напиток)?

Для решения этой задачи мы должны сделать три последовательных и независимых выбора: выбрать суп, выбрать второе блюдо и выбрать напиток. Применим правило умножения.

1. Выбор супа можно сделать 3 способами ($n_1 = 3$).
2. Выбор второго блюда можно сделать 5 способами ($n_2 = 5$).
3. Выбор напитка можно сделать 4 способами ($n_3 = 4$).

Общее количество различных вариантов обеда равно произведению числа способов для каждого выбора:

$N = n_1 \times n_2 \times n_3 = 3 \times 5 \times 4$

Произведем вычисления: $3 \times 5 = 15$, далее $15 \times 4 = 60$.

Таким образом, существует 60 различных способов составить обед.

Ответ: 60 способами.

б) Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 при условии, что цифры в числе не должны повторяться?

Трехзначное число состоит из трех цифр, занимающих позиции сотен, десятков и единиц. Мы должны последовательно выбрать цифру для каждой из этих позиций из данного набора {1, 2, 3, 4, 5}.

1. Для первой цифры (сотни) у нас есть 5 вариантов (любая из пяти цифр).
2. Поскольку цифры не могут повторяться, после выбора первой цифры у нас останется 4 варианта для второй цифры (десятки).
3. После выбора первых двух цифр, для третьей цифры (единицы) останется 3 варианта.

Согласно правилу умножения, общее количество способов составить такое число равно произведению числа вариантов для каждой позиции:

$N = 5 \times 4 \times 3 = 60$

Эта задача также является примером нахождения числа размещений без повторений из 5 элементов по 3, что обозначается как $A_5^3$. Формула для размещений: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$. В нашем случае: $A_5^3 = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{120}{2} = 60$.

Ответ: 60 чисел.

в) В спортивной секции занимаются 15 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно выбрать двух человек для участия в соревнованиях, если в команде должны быть один мальчик и одна девочка?

Здесь нам нужно сделать два независимых выбора: выбрать одного мальчика из 15 и выбрать одну девочку из 10.

1. Число способов выбрать одного мальчика из 15 равно 15 ($n_{мальчик} = 15$).
2. Число способов выбрать одну девочку из 10 равно 10 ($n_{девочка} = 10$).

Чтобы найти общее количество способов сформировать такую пару, мы используем правило умножения, так как выбор мальчика и выбор девочки являются независимыми событиями:

$N = n_{мальчик} \times n_{девочка} = 15 \times 10 = 150$

Следовательно, существует 150 способов составить команду из одного мальчика и одной девочки.

Ответ: 150 способами.