Номер 4, страница 392, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Темы исследовательских работ к главе 9 - номер 4, страница 392.

Условие.

4. Задачи на применение правила умножения.

Решение 6.

Правило умножения в комбинаторике, также известное как основное правило подсчета, является фундаментальным принципом для нахождения числа возможных исходов в сложной ситуации. Оно гласит: если некоторый выбор (действие) А можно совершить $n_1$ способами, и после этого другой выбор B можно совершить $n_2$ способами, то последовательность выборов А и B можно совершить $N = n_1 \times n_2$ способами. Это правило можно обобщить на любую последовательность из $k$ выборов:

$N = n_1 \times n_2 \times n_3 \times \dots \times n_k$

Ниже представлены решения типовых задач с использованием этого правила.

а) В столовой предлагается 3 вида супа, 5 видов вторых блюд и 4 вида напитков. Сколькими способами можно составить обед из трех блюд (суп, второе и напиток)?

Для решения этой задачи мы должны сделать три последовательных и независимых выбора: выбрать суп, выбрать второе блюдо и выбрать напиток. Применим правило умножения.

1. Выбор супа можно сделать 3 способами ($n_1 = 3$).
2. Выбор второго блюда можно сделать 5 способами ($n_2 = 5$).
3. Выбор напитка можно сделать 4 способами ($n_3 = 4$).

Общее количество различных вариантов обеда равно произведению числа способов для каждого выбора:

$N = n_1 \times n_2 \times n_3 = 3 \times 5 \times 4$

Произведем вычисления: $3 \times 5 = 15$, далее $15 \times 4 = 60$.

Таким образом, существует 60 различных способов составить обед.

Ответ: 60 способами.

б) Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 при условии, что цифры в числе не должны повторяться?

Трехзначное число состоит из трех цифр, занимающих позиции сотен, десятков и единиц. Мы должны последовательно выбрать цифру для каждой из этих позиций из данного набора {1, 2, 3, 4, 5}.

1. Для первой цифры (сотни) у нас есть 5 вариантов (любая из пяти цифр).
2. Поскольку цифры не могут повторяться, после выбора первой цифры у нас останется 4 варианта для второй цифры (десятки).
3. После выбора первых двух цифр, для третьей цифры (единицы) останется 3 варианта.

Согласно правилу умножения, общее количество способов составить такое число равно произведению числа вариантов для каждой позиции:

$N = 5 \times 4 \times 3 = 60$

Эта задача также является примером нахождения числа размещений без повторений из 5 элементов по 3, что обозначается как $A_5^3$. Формула для размещений: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$. В нашем случае: $A_5^3 = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{120}{2} = 60$.

Ответ: 60 чисел.

в) В спортивной секции занимаются 15 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно выбрать двух человек для участия в соревнованиях, если в команде должны быть один мальчик и одна девочка?

Здесь нам нужно сделать два независимых выбора: выбрать одного мальчика из 15 и выбрать одну девочку из 10.

1. Число способов выбрать одного мальчика из 15 равно 15 ($n_{мальчик} = 15$).
2. Число способов выбрать одну девочку из 10 равно 10 ($n_{девочка} = 10$).

Чтобы найти общее количество способов сформировать такую пару, мы используем правило умножения, так как выбор мальчика и выбор девочки являются независимыми событиями:

$N = n_{мальчик} \times n_{девочка} = 15 \times 10 = 150$

Следовательно, существует 150 способов составить команду из одного мальчика и одной девочки.

Ответ: 150 способами.