Номер 5, страница 403, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §55. ч. 1 - номер 5, страница 403.

5. Опишите три основных этапа решения уравнения с одной переменной.

Этап 1: Упрощение уравнения

На этом этапе выполняются тождественные преобразования с целью приведения уравнения к более простому виду. Основная задача — сделать уравнение максимально лаконичным, раскрыв все скобки и сгруппировав однотипные члены. Ключевые действия:

• Раскрытие скобок, используя распределительный закон умножения. Например, в уравнении $3(x - 2) + 5 = 14$ раскрываем скобки и получаем $3x - 6 + 5 = 14$.
• Приведение подобных слагаемых в каждой части уравнения. В примере выше, $3x - 6 + 5 = 14$ упрощается до $3x - 1 = 14$.
• Избавление от знаменателей, если уравнение содержит дроби. Для этого обе части уравнения умножаются на наименьший общий знаменатель всех дробей. Например, для уравнения $\frac{x}{4} + \frac{1}{2} = \frac{3x}{4}$ наименьший общий знаменатель равен 4. Умножив на него, получим эквивалентное уравнение без дробей: $x + 2 = 3x$.

Ответ: В результате этого этапа исходное уравнение преобразуется в более простое эквивалентное уравнение, в котором отсутствуют скобки и дроби, а подобные слагаемые в каждой части приведены.

Этап 2: Изолирование переменной

Цель этого этапа — собрать все слагаемые, содержащие переменную, в одной части уравнения (обычно в левой), а все числовые слагаемые (константы) — в другой (обычно в правой), чтобы в итоге получить уравнение вида $kx = m$.

• Перенос слагаемых. Используя свойства равенств, слагаемые переносятся из одной части уравнения в другую с изменением знака на противоположный. Это равносильно прибавлению или вычитанию одного и того же выражения из обеих частей уравнения.
  Например, в уравнении $3x - 1 = 14$ переносим константу $-1$ вправо: $3x = 14 + 1$, что дает $3x = 15$.
  В уравнении $x + 2 = 3x$ переносим слагаемое $x$ вправо, чтобы собрать все переменные вместе: $2 = 3x - x$, что дает $2 = 2x$.
• Нахождение переменной. Когда уравнение приведено к виду $kx=m$, где $k$ и $m$ — некоторые числа, для нахождения $x$ нужно разделить обе части уравнения на коэффициент $k$ (если $k \ne 0$).
  В уравнении $3x = 15$ делим обе части на 3 и получаем $x = \frac{15}{3}$, то есть $x = 5$.
  В уравнении $2 = 2x$ делим обе части на 2 и получаем $x = \frac{2}{2}$, то есть $x = 1$.

Ответ: На этом этапе находится корень (или корни) уравнения — значение переменной, которое является решением упрощенного уравнения.

Этап 3: Проверка решения и запись ответа

Это заключительный и очень важный этап, который позволяет убедиться в правильности найденного решения и отсеять посторонние корни, которые могли появиться в процессе преобразований.

• Проверка подстановкой. Найденное значение переменной подставляется в самое исходное уравнение (до всех преобразований). Если в результате получается верное числовое равенство, то корень найден правильно.
  Проверим корень $x=5$ для исходного уравнения $3(x - 2) + 5 = 14$. Подставляем: $3(5 - 2) + 5 = 3(3) + 5 = 9 + 5 = 14$. Получаем верное равенство $14 = 14$. Корень верный.
• Проверка на соответствие области допустимых значений (ОДЗ). Это особенно важно для уравнений, где переменная находится в знаменателе дроби, под знаком корня или логарифма. Необходимо убедиться, что найденный корень не обращает знаменатель в ноль, не делает подкоренное выражение отрицательным и т.д. Если корень не входит в ОДЗ, он является посторонним и не включается в ответ.

Ответ: После успешной проверки найденное значение (или значения) переменной записывается как окончательный ответ к задаче.