Номер 10, страница 403, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §55. ч. 1 - номер 10, страница 403.

10. Объясните, почему при переходе от уравнения $\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}$ к уравнению $f(x) = g(x)$ могут появиться посторонние корни.

Переход от уравнения $\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}$ к уравнению $f(x) = g(x)$ осуществляется путем возведения обеих частей уравнения в квадрат. Это преобразование не всегда является равносильным, что и приводит к возможности появления посторонних корней. Причина кроется в изменении области допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$.

1. Анализ исходного уравнения

Исходное уравнение: $\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}$.

Арифметический квадратный корень ($\sqrt{a}$) определен только для неотрицательных значений подкоренного выражения ($a \ge 0$). Следовательно, для уравнения $\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}$ должны одновременно выполняться два условия, составляющие его область допустимых значений (ОДЗ):

$f(x) \ge 0$

$g(x) \ge 0$

Любой корень исходного уравнения должен удовлетворять этой системе неравенств.

2. Анализ уравнения-следствия

После возведения в квадрат мы получаем уравнение-следствие: $f(x) = g(x)$.

Для этого уравнения нет никаких ограничений на знак функций $f(x)$ и $g(x)$. Оно будет верным, если значения функций равны, независимо от их знака. То есть, $f(x)$ и $g(x)$ могут быть одновременно положительными, равными нулю или одновременно отрицательными.

3. Возникновение посторонних корней

Посторонние корни появляются именно в том случае, когда мы находим такое значение $x_0$, для которого $f(x_0) = g(x_0)$, но при этом $f(x_0) < 0$ (и, следовательно, $g(x_0) < 0$).

Такое значение $x_0$ является корнем уравнения $f(x) = g(x)$, но оно не входит в ОДЗ исходного уравнения $\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}$, поскольку подкоренные выражения становятся отрицательными, и корни из них в области действительных чисел не определены.

Пример:

Рассмотрим уравнение $\sqrt{2-x} = \sqrt{x-4}$.

Его ОДЗ определяется системой неравенств:

$2-x \ge 0 \implies x \le 2$

$x-4 \ge 0 \implies x \ge 4$

Эта система не имеет решений ($x \le 2$ и $x \ge 4$ одновременно невыполнимо), следовательно, исходное уравнение не имеет корней.

Теперь возведем обе части в квадрат:

$2-x = x-4$

$6 = 2x$

$x = 3$

Мы получили корень $x=3$ для уравнения-следствия. Однако этот корень является посторонним для исходного уравнения. Если мы подставим $x=3$ в исходное уравнение, то получим:

$\sqrt{2-3} = \sqrt{3-4}$

$\sqrt{-1} = \sqrt{-1}$

Это выражение не имеет смысла в действительных числах. Корень $x=3$ появился потому, что при этом значении $f(x) = 2-3 = -1$ и $g(x) = 3-4 = -1$. Равенство $f(x) = g(x)$ выполняется ($-1 = -1$), но условие неотрицательности подкоренных выражений — нет.

Ответ: При переходе от уравнения $\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}$ к $f(x) = g(x)$ путем возведения в квадрат происходит расширение области допустимых значений. Уравнение-следствие $f(x) = g(x)$ допускает решения, при которых $f(x)$ и $g(x)$ могут быть отрицательными, в то время как для исходного уравнения они должны быть неотрицательными. Корни, для которых $f(x) = g(x) < 0$, и являются посторонними.