Номер 12, страница 403, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §55. ч. 1 - номер 12, страница 403.

12. Объясните, почему при переходе от уравнения $\sqrt{f(x)} = g(x)$ к уравнению $f(x) = (g(x))^2$ могут появиться посторонние корни, а переход от уравнения $\sqrt[3]{f(x)} = g(x)$ к уравнению $f(x) = (g(x))^3$ является равносильным преобразованием.

Почему при переходе от уравнения $\sqrt{f(x)} = g(x)$ к уравнению $f(x) = (g(x))^2$ могут появиться посторонние корни

Рассмотрим исходное уравнение $\sqrt{f(x)} = g(x)$. По определению арифметического квадратного корня, его значение не может быть отрицательным. Это накладывает два ограничения на область допустимых значений (ОДЗ) переменной $x$:

1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $f(x) \ge 0$.
2. Правая часть уравнения, равная значению корня, также должна быть неотрицательной: $g(x) \ge 0$.

Таким образом, исходное уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} f(x) = (g(x))^2 \\ g(x) \ge 0 \end{cases}$

(Условие $f(x) \ge 0$ здесь является избыточным, так как оно автоматически выполняется из-за того, что $f(x)$ равно квадрату выражения $(g(x))^2$, который всегда неотрицателен).

Когда мы возводим обе части исходного уравнения в квадрат, мы переходим к уравнению $f(x) = (g(x))^2$. При этом преобразовании теряется важное условие $g(x) \ge 0$.

Уравнение $f(x) = (g(x))^2$ является следствием не только исходного уравнения $\sqrt{f(x)} = g(x)$, но и уравнения $\sqrt{f(x)} = -g(x)$. Если возвести в квадрат обе части второго уравнения, мы получим то же самое: $f(x) = (-g(x))^2$, что равносильно $f(x) = (g(x))^2$.

Следовательно, уравнение $f(x) = (g(x))^2$ объединяет в себе решения двух уравнений:

$[\sqrt{f(x)} = g(x) \text{ или } \sqrt{f(x)} = -g(x)]$

Те корни, которые удовлетворяют уравнению $\sqrt{f(x)} = -g(x)$, но не удовлетворяют исходному $\sqrt{f(x)} = g(x)$, и являются посторонними. Это происходит для тех значений $x$, при которых $g(x) < 0$. Для таких $x$ левая часть $\sqrt{f(x)}$ неотрицательна, а правая $g(x)$ — отрицательна, что нарушает равенство в исходном уравнении.

Пример: Рассмотрим уравнение $\sqrt{x+7} = x-5$.

Возведем обе части в квадрат: $x+7 = (x-5)^2 \implies x+7 = x^2 - 10x + 25 \implies x^2 - 11x + 18 = 0$.

Корни этого квадратного уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = 9$.

Проверим эти корни, подставив в исходное уравнение:

• Для $x_1 = 2$: $\sqrt{2+7} = \sqrt{9} = 3$. Правая часть: $2-5 = -3$. Получаем $3 = -3$, что неверно. Корень $x=2$ является посторонним, так как для него правая часть $g(x)=x-5$ отрицательна.
• Для $x_2 = 9$: $\sqrt{9+7} = \sqrt{16} = 4$. Правая часть: $9-5 = 4$. Получаем $4 = 4$, что верно. Этот корень является решением.

Ответ: При возведении в квадрат уравнения $\sqrt{f(x)} = g(x)$ происходит расширение области допустимых значений, так как теряется условие $g(x) \ge 0$. Полученное уравнение $f(x) = (g(x))^2$ включает в себя как корни исходного уравнения, так и корни уравнения $\sqrt{f(x)} = -g(x)$. Решения второго уравнения, для которых $g(x) < 0$, и являются посторонними корнями для исходного.

Почему переход от уравнения $\sqrt[3]{f(x)} = g(x)$ к уравнению $f(x) = (g(x))^3$ является равносильным преобразованием

Рассмотрим уравнение $\sqrt[3]{f(x)} = g(x)$.

В отличие от квадратного корня, кубический корень $\sqrt[3]{a}$ определен для любого действительного числа $a$ (как положительного, так и отрицательного или нуля). Его значение может быть также любым действительным числом. Поэтому на функции $f(x)$ и $g(x)$ не накладывается никаких ограничений по знаку, вытекающих из операции извлечения кубического корня.

Рассмотрим операцию возведения в третью степень. Функция $y = t^3$ является строго монотонно возрастающей на всей числовой оси. Это означает, что для любых двух действительных чисел $a$ и $b$ равенство $a=b$ выполняется тогда и только тогда, когда выполняется равенство $a^3 = b^3$.

$a=b \iff a^3 = b^3$

Такое преобразование, при котором сохраняется отношение "тогда и только тогда" (эквивалентность), называется равносильным. Применение равносильного преобразования к обеим частям уравнения не приводит к потере корней или появлению посторонних корней.

Применим это к нашему уравнению. Пусть $a = \sqrt[3]{f(x)}$ и $b = g(x)$. Переход от уравнения $\sqrt[3]{f(x)} = g(x)$ к уравнению $(\sqrt[3]{f(x)})^3 = (g(x))^3$ является равносильным. Так как $(\sqrt[3]{f(x)})^3 = f(x)$, мы получаем уравнение $f(x) = (g(x))^3$, которое имеет в точности то же самое множество решений, что и исходное.

Пример: Рассмотрим уравнение $\sqrt[3]{x^3-7} = x-1$.

Возведем обе части в куб: $x^3-7 = (x-1)^3 \implies x^3-7 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1 \implies 3x^2 - 3x - 6 = 0 \implies x^2 - x - 2 = 0$.

Корни этого уравнения: $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$.

Поскольку преобразование было равносильным, проверка не является обязательной для отсеивания корней, но мы можем выполнить её для демонстрации:

• Для $x_1 = -1$: $\sqrt[3]{(-1)^3-7} = \sqrt[3]{-1-7} = \sqrt[3]{-8} = -2$. Правая часть: $-1-1 = -2$. Получаем $-2 = -2$, что верно.
• Для $x_2 = 2$: $\sqrt[3]{2^3-7} = \sqrt[3]{8-7} = \sqrt[3]{1} = 1$. Правая часть: $2-1=1$. Получаем $1=1$, что верно.

Оба корня являются решениями, посторонние корни не появились.

Ответ: Переход от уравнения $\sqrt[3]{f(x)} = g(x)$ к $f(x) = (g(x))^3$ является равносильным преобразованием, потому что функция возведения в куб ($y = t^3$) является взаимно однозначной для всех действительных чисел. Это означает, что равенство $a=b$ эквивалентно равенству $a^3=b^3$. Такое преобразование не изменяет множество решений уравнения, то есть не приводит ни к потере, ни к приобретению корней.