Номер 1, страница 423, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §57. ч. 1 - номер 1, страница 423.

1. Даны два неравенства: $f(x) > g(x)$ и $p(x) < h(x)$, В каком случае их называют равносильными?

1.

Два неравенства, в данном случае $f(x) > g(x)$ и $p(x) < h(x)$, называют равносильными (или эквивалентными), если множества их решений полностью совпадают.

Это означает, что любое значение переменной $x$, которое является решением первого неравенства, является также и решением второго, и наоборот — любое решение второго является решением первого. Таким образом, у равносильных неравенств одно и то же множество решений.

Если обозначить множество решений неравенства $f(x) > g(x)$ как $M_1$, а множество решений неравенства $p(x) < h(x)$ как $M_2$, то равносильность этих неравенств означает, что $M_1 = M_2$.

Этот принцип распространяется и на случай, когда у неравенств нет решений. Если оба неравенства не имеют решений, то множество решений каждого из них является пустым множеством ($\emptyset$). Поскольку $\emptyset = \emptyset$, такие неравенства тоже считаются равносильными.

Например, неравенства $x+3 > 5$ и $2x > 4$ равносильны. Решением первого является $x > 2$, то есть множество $(2; +\infty)$. Решением второго также является $x > 2$. Так как множества их решений совпадают, они равносильны.

Ответ: Два неравенства называют равносильными, если множества их решений совпадают.