Номер 7, страница 423, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Вопросы к §57. ч. 1 - номер 7, страница 423.

7. Какие вы знаете неравносильные преобразования неравенства с одной переменной?

Неравносильные преобразования неравенств – это преобразования, которые приводят к изменению множества решений исходного неравенства. Такое изменение может быть либо расширением множества решений (появлением посторонних корней), либо его сужением (потерей корней). Рассмотрим основные типы таких преобразований.

1. Умножение или деление обеих частей неравенства на выражение, содержащее переменную

Это преобразование является неравносильным, поскольку знак выражения, содержащего переменную, может быть как положительным, так и отрицательным или равным нулю в зависимости от значения переменной. Правило умножения/деления неравенства требует знания знака множителя: при умножении на положительное число знак неравенства сохраняется, а при умножении на отрицательное – меняется на противоположный. Деление на ноль недопустимо.

Пример:

Рассмотрим неравенство $\frac{x+3}{x-2} > 0$.

Неправильное (неравносильное) преобразование – умножить обе части на $(x-2)$: $(x+3) > 0 \cdot (x-2)$, что дает $x > -3$. Это неверное решение, так как не учитывается случай, когда $(x-2) < 0$.

Правильное решение (метод интервалов):

Находим нули числителя ($x=-3$) и знаменателя ($x=2$). Отмечаем эти точки на числовой оси и определяем знаки выражения на каждом интервале. Интервалы: $(-\infty, -3)$, $(-3, 2)$, $(2, +\infty)$.

- При $x>2$, оба множителя положительны, дробь положительна.
- При $-3 < x < 2$, числитель положителен, знаменатель отрицателен, дробь отрицательна.
- При $x<-3$, оба множителя отрицательны, дробь положительна.

Таким образом, решение: $x \in (-\infty, -3) \cup (2, +\infty)$. Сравнивая с неверным решением $x > -3$, мы видим, что неравносильное преобразование привело к потере интервала $(-\infty, -3)$ и приобретению постороннего интервала $(-3, 2)$.

Ответ: Умножение или деление неравенства на выражение с переменной без учета знака этого выражения является неравносильным преобразованием, которое может привести к потере корней и/или приобретению посторонних.

2. Возведение обеих частей неравенства в четную степень (например, в квадрат)

Возведение в квадрат обеих частей неравенства вида $f(x) > g(x)$ является равносильным преобразованием только в том случае, если обе части неотрицательны на области допустимых значений (ОДЗ). В общем случае это преобразование неравносильно и часто приводит к появлению посторонних решений.

Пример:

Рассмотрим неравенство $\sqrt{x+3} < x-1$.

Неправильное (неравносильное) преобразование – сразу возвести в квадрат: $(\sqrt{x+3})^2 < (x-1)^2$
$x+3 < x^2 - 2x + 1$
$x^2 - 3x - 2 > 0$
Корни уравнения $x^2 - 3x - 2 = 0$ равны $x = \frac{3 \pm \sqrt{9+8}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}$. Решением квадратного неравенства является $x \in (-\infty, \frac{3-\sqrt{17}}{2}) \cup (\frac{3+\sqrt{17}}{2}, +\infty)$. Это неверное решение.

Правильное решение:

Поскольку левая часть $\sqrt{x+3}$ неотрицательна, то для выполнения неравенства правая часть $x-1$ должна быть строго положительной. Таким образом, мы должны решать систему, равносильную исходному неравенству: $\begin{cases} x+3 \ge 0 \\ x-1 > 0 \\ x+3 < (x-1)^2 \end{cases}$

Из первых двух неравенств получаем $x \ge -3$ и $x > 1$, что равносильно $x > 1$. Решаем третье неравенство: $x^2 - 3x - 2 > 0$, что дает $x \in (-\infty, \frac{3-\sqrt{17}}{2}) \cup (\frac{3+\sqrt{17}}{2}, +\infty)$. Пересекаем полученное множество с условием $x > 1$. Так как $\frac{3-\sqrt{17}}{2} \approx \frac{3-4.12}{2} \approx -0.56$, а $\frac{3+\sqrt{17}}{2} \approx \frac{3+4.12}{2} \approx 3.56$, то итоговое решение: $x \in (\frac{3+\sqrt{17}}{2}, +\infty)$.

Следовательно, неверное преобразование привело к появлению постороннего множества решений.

Ответ: Возведение обеих частей неравенства в четную степень без учета знаков выражений является неравносильным преобразованием, обычно приводящим к расширению множества решений.

3. Неверное применение логарифмирования

Логарифмирование обеих частей неравенства $f(x) > g(x)$ возможно только тогда, когда обе части строго положительны ($f(x)>0$ и $g(x)>0$). Если это условие не проверено, преобразование является неравносильным, так как оно сужает область допустимых значений.

Пример:

Рассмотрим неравенство $x^2 > x$.

Правильное решение: $x^2 - x > 0 \Rightarrow x(x-1) > 0$. Решением является $x \in (-\infty, 0) \cup (1, +\infty)$.

Неправильное (неравносильное) преобразование – прологарифмировать по основанию 10: $\log_{10}(x^2) > \log_{10}(x)$. Это действие сразу требует, чтобы $x^2>0$ и $x>0$, что в совокупности дает $x>0$. Исходное неравенство имело решения и при $x<0$. Таким образом, мы потеряли целый интервал $(-\infty, 0)$. Дальнейшее решение $2\log_{10}|x| > \log_{10}(x)$ (с учетом $x>0$ это $2\log_{10}x > \log_{10}x$) $\Rightarrow \log_{10}(x) > 0 \Rightarrow x > 1$ приводит к части верного ответа, но множество решений было сужено в самом начале.

Ответ: Логарифмирование обеих частей неравенства без проверки их положительности является неравносильным преобразованием, которое приводит к сужению ОДЗ и потере корней.