Номер 3, страница 429, часть 1 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 1. Вопросы к §58 - номер 3, страница 429.

Условие.

3. Расскажите, как в прямоугольной системе координат $xOy$ вы найдёте решение системы неравенств:

a) $ \begin{cases} x - 2y > 0, \\ 2x + y < 0; \end{cases} $

б) $ 0 < y - x^2 < 4. $

Решение 6.

a) Чтобы найти решение системы неравенств $\begin{cases} x - 2y > 0 \\ 2x + y < 0 \end{cases}$ в прямоугольной системе координат, необходимо найти пересечение множеств решений каждого из неравенств на координатной плоскости $xOy$.

1. Сначала рассмотрим первое неравенство $x - 2y > 0$. Для этого построим граничную прямую, которая задается уравнением $x - 2y = 0$. Выразим $y$ через $x$: $y = \frac{1}{2}x$. Это уравнение прямой, проходящей через начало координат $(0, 0)$ и точку, например, $(2, 1)$. Поскольку неравенство строгое ($>$), то точки, лежащие на самой прямой, не являются решениями. Поэтому прямую следует изобразить пунктирной линией.

Эта прямая делит всю плоскость на две полуплоскости. Чтобы определить, какая из них является решением, выберем любую пробную точку, не лежащую на прямой. Удобно взять точку $(1, 0)$. Подставим ее координаты в неравенство: $1 - 2 \cdot 0 > 0$, что дает верное утверждение $1 > 0$. Это означает, что решением первого неравенства является полуплоскость, которая содержит точку $(1, 0)$, то есть все точки, лежащие ниже прямой $y = \frac{1}{2}x$.

2. Теперь рассмотрим второе неравенство $2x + y < 0$. Его граничная прямая задается уравнением $2x + y = 0$, или $y = -2x$. Эта прямая также проходит через начало координат $(0, 0)$ и, например, точку $(1, -2)$. Неравенство строгое (<), поэтому прямую также изображаем пунктиром.

Снова выберем пробную точку, например, $(1, 0)$. Подставив ее координаты во второе неравенство, получим: $2 \cdot 1 + 0 < 0$, что дает неверное утверждение $2 < 0$. Следовательно, решением второго неравенства является полуплоскость, не содержащая точку $(1, 0)$, то есть все точки, расположенные ниже прямой $y = -2x$.

3. Решением системы является пересечение найденных областей, то есть множество точек, которые удовлетворяют обоим неравенствам одновременно. Геометрически это область, которая находится одновременно ниже прямой $y = \frac{1}{2}x$ и ниже прямой $y = -2x$. Это открытый угол с вершиной в начале координат, ограниченный лучами, соответствующими данным прямым, и расположенный в четвертой координатной четверти.

Ответ: Решением системы является открытая угловая область, ограниченная пунктирными прямыми $y = \frac{1}{2}x$ и $y = -2x$, которая представляет собой пересечение полуплоскостей, лежащих под этими прямыми.

б) Двойное неравенство $0 < y - x^2 < 4$ эквивалентно системе из двух неравенств: $$ \begin{cases} y - x^2 > 0 \\ y - x^2 < 4 \end{cases} $$ Перепишем систему в более удобном виде: $$ \begin{cases} y > x^2 \\ y < x^2 + 4 \end{cases} $$ Решение этой системы — это пересечение областей, заданных каждым из неравенств.

1. Рассмотрим первое неравенство $y > x^2$. Границей этой области является кривая, заданная уравнением $y = x^2$. Это стандартная парабола с вершиной в начале координат $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх. Так как неравенство строгое ($>$), параболу следует изобразить пунктирной линией.

Неравенство $y > x^2$ описывает все точки координатной плоскости, которые лежат *выше* параболы $y = x^2$. Чтобы убедиться в этом, можно взять пробную точку, например, $(0, 2)$, которая находится внутри параболы. Подстановка ее координат дает $2 > 0^2$, что является верным утверждением.

2. Рассмотрим второе неравенство $y < x^2 + 4$. Границей этой области является кривая $y = x^2 + 4$. Эта парабола получается из параболы $y = x^2$ сдвигом на 4 единицы вверх вдоль оси $Oy$. Ее вершина находится в точке $(0, 4)$, а ветви также направлены вверх. Неравенство строгое (<), поэтому эту параболу также изображаем пунктирной линией.

Неравенство $y < x^2 + 4$ описывает все точки, которые лежат *ниже* параболы $y = x^2 + 4$. Проверим это с помощью пробной точки $(0, 2)$: $2 < 0^2 + 4$, что является верным утверждением.

3. Решением исходного двойного неравенства является пересечение двух найденных областей. Это множество точек, которые одновременно находятся выше параболы $y = x^2$ и ниже параболы $y = x^2 + 4$.

Ответ: Решением является область на координатной плоскости, заключенная между параболами $y = x^2$ и $y = x^2 + 4$. Границы области (сами параболы) в решение не входят, поэтому они изображаются пунктирными линиями.